SÉANCE DU 26 FÉVRIER I906. 5oi 



indétermination incomplète au point x„, elle ne saurait en présenter lorsque x 

 tend vers le contour C sur un chemin quelconque intérieur à C. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la série de Fourier. 

 Note (le M. Léopold Fejkr, présentée par M. Emile Picard. 



Soity(j7) une fonction de la variable réelle x, dont la série de Fourier 

 est partout convergente. Une question intéressante se pose : Est-ce que les 

 sommes de Fourier : 



\l) S^, s f, Sn, . . . , S,i, ..., 



où s„ désigne la somme des (« -4- 1) premiers termes de la série de Fourier 

 (\e/(x), sont oscillatoires autour de la valeur de/(:c) pour chaque va- 

 leur ùiixl Eu d'autres termes : Peut-on trouver une infinité de membres 

 de la suite (i) qui sont, pour la valeur x, |)lus grands, et une infinité, qui 

 sont plus petits quey(a;)? 



Prenons, d'une part, la fonction sans dérivée de Weierstrass : 



/(^•) = 2]«"cos(6"a;), 



ou 



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 o <^ rt <] 1 , /> = entier impair, ah^\-\ — -. 



Pour les arguments x = -^^ (u., v = entiers quelconques), qui sont denses 



dans chaque intervalle, la suite (i) n'est pas oscillatoire autour de /(x). 

 D'autre part, la série suivante, qui représente une fonction entière de x, 

 avec la période ax : 



f{x) — 'y^a'''" cos(b"x). où o<rt<i, 6 = entier impair > i, 



montre la même propriété pour les mêmes valeurs de x. Mais en considé- 

 rant les courbes, qui sont composées d'un nombre fini d'arcs analytiques, 

 courbes qui se placent en quelque sorte entre les deux catégories extrêmes 

 de fonctions mentionnées plus haut, et qui sont les plus importantes pour 

 les applications, on trouve des circonstances entièrement différentes. 



