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ACADÉMIE DES SCIENCES. 



1. Pour traiter un cas déterminé et simple prenons pourfi^x) un seul arc 

 analytique, mais pour lequel /{-^ o) et f{2- — o) sont différents. Nous voulons 

 démontrer que les sommes de Fourier sont oscillatoires autour de f{iv) pour 

 chaque point de l'intervalle (o, 27u), les arguments o, t. pouvant être les seuls 

 exceptionnels. 



Kn efiTel 



I /^•'"^ /ïj^i — /"C ri 2— r 



Mais, en posant 



(0 



ï,„(x): 



■J. 



^ ù 



2 SIB • 



?(^)^ 



7 — J" 



( î ) cos {in ^- I ) (Yx, 



f{^)-'f(.X) 



2 SI !1 



nie intégration par partie donne 



.T 2 II -{— I 



ï,„{.r) ~ — [,<p(o) -f-'f)(2r)|cos(2/i +i)- -t- ^^ T,d„{-r)\ 



et comme 



l'on obtient pour d„(.r) l'expression 



/(27r)-/(0) 



î 

 . a? 

 2 sin — 



(3) 



d,:{x) = 



( 2 « 4- I ) 



/(,^)_/(0) 



cos (2 ri + i) ■ 



T;„(.i-) 



Dans l'intégrale (2) la fonction o'(-/) est finie et contiime entre o et 21:, par suite 

 lim T,„(.r) = o. Donc la formule (3) démontre d'une manière exacte, que la suite (i) 



est oscillatoire autour dey(a) pour cliar|ue valeur de .r. excepté peut-être o et ::. 



Il 1 '^"' ^'" "r , , , ,^ . 



L exemple 7 montre que les valeurs o et t peuvent se présenter elteclive- 



n= 1 



ment comme points d'exception. 



2. Soit ^ («„ sin/?.r -)- bnCosnx) la série de Fourier de la fonction f(x) 

 que nous supposons telle qu'au n" 1. Une transformation, analogue à la pic- 



