SÉANCE DU 16 FÉVRIER 1906. 5o3 



cédente, conduiL aux expressions 



/(2-)— /(0)-hE„ 



«■»+-. — «« — 



(^)' 





'n+i "w ■ 



OÙ « — 1,2, 3, ..., 20, liin£„ = lim p„:= G, qui prouvent immédiatement 



qu'à partir d'un certain indice les a„ sont tous de même signe et i^ont en 

 décroissant en valeur absolue, et que, en supposant /'(^2t:)^/\o), le même fait 

 subsiste pour les è„. Cette méthode, qu'avait déjà appliquée M. Darboux 

 pour la détermination de l'ordre des coefficients de la série de Fourier, 

 mais en laissant de côté les questions relatives au signe, peut servir aussi 

 pour traiter le problème d'oscillation dans le cas le plus général, signalé 

 plus haut. 



3. Qu'il me soit permis d'ajouter une remarque, qui se rattache aux con- 

 sidérations précédentes, et que je connais sans l'avoir publiée depuis trois 

 années. Soit /(ce) une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un 

 point X. Peut-on trouver une suite convergente, ayant f(pc) pour limite et dont 

 les termes sont choisis parmi l'es termes de la suite divergente (i)? Pour démon- 

 trer que cela est toujou/s possible lorsque f (a') estjini dans l'intervalle (o, 2-), 

 désignons par I et S les limites inférieure et supérieure de la suite (i) 

 pour n infini. D'après mon théorème sur les moyennes arithmétiques, on a 

 certainement 15 /(a;)5S. D'autre part lim(5„ — *„_|)=^o. Donc l'ensemble 



des termes de la suite (1), qui se trouvent entre I et S, est dense dans l'inter- 

 valle (I, S). D'où il résulte déjà l'existence de la suite voulue. 



Le raisonnement est en défaut lorsque f{x) devient infini comme dans 



l'exemple de Rieniann f(x)= j- (a;"'cos - j, où o-<;i';^2-, o<;v<^-' 



C'est de ce problème que s'occupent M. Hobson (') et M. Lebesgue (-) 

 dans leurs Notes intéressantes. 



(') Proceedings of tlie Londun nuitheinalical Society, second série, t. (11, igoD. 

 (-) Comptes rendus, l. CXI^I, 27 novembre igoo. 



