5o4 ACADÉMIE DES SCIE>CES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Intégrales d' une équation différentielle dans le 

 voisinage d'un point dicritique. Note de M. H. Dulac, présentée p;ir 

 M. Painlevé. 



L'étude des intégrales d'une équation différentielle 



X(^.,r);^ = Y(.r.j) 



dans le voisinage de x ^ o, j = o supposé point multiple des courbes 

 X = o, Y =-. o peut toujours être faite complètement, dans le champ réel, 

 ainsi que l'a montré M. Bendixson. Mais l'étude de ces mêmes intégrales, 

 dans le champ complexe, n'a donné jusqu'ici que peu de résultats précis, si 

 l'on en excepte la recherche des intégrales algébroïdes pour a; = o, pro- 

 blème complètement résolu. Si j'ai pu montrer qu'il y a, dans la plupart 

 des cas, une infinité d'intégrales pour lesquelles y tend vers o avec x, 

 ces intégrales présentent des singularités très diverses, qu'il paraît difficile 

 d'étudier. En général, étant données des conditions initiales, a;„, y^ aussi 

 voisines que l'on veut de x = o^y ^ o, on ne sait comment se comporte 

 l'intégrale relative à ces valeurs initiales, lorsque a? tend verso. On ne sait 

 si cette intégrale possède un nombre fini on infini de points critiques, dans 

 le voisinage de a? = o. Dans le cas particulier où x est en facteur dans X, 

 aucun théorème général ne permet d'affirmer que y tend vers une limite 

 lorsque x tend vers o, et, en effet, y peut ne tendre vers aucune limite. 



La difficulté de résoudre ces diverses questions, dans les cas les plus 

 généraux, me paraît donner quelque intérêt aux résultats particuliers, mais 

 très précis, que j'ai obtenus dans le cas d!\\x\point dicritique. Considérons 

 l'équation 



dy 

 (r) \_xk{x,y) + 'ù„{x,y) + . . . ] -^ =:^ y a (a?, j) + ■!„(./;, v)-l-... 



oîi le premier et le second membre contiennent des développements sui- 

 vant les puissances de x et/. Nous n'écrivons que les termes de moindre 

 degré, les polynômes homogènes A, <p„, <]^„ de degrés respectifs n — 2, 

 n el /?. 



Supposons qu'il n'y ait pas de l'aleurs de x et y annulant à la fois 



(2) A(a7, j') cl y(^„{x,y)+x^„{x,y). 



