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classes de formes primitives de première espèce; soieniy,/, / , ... des 

 représentants des différentes classes de formes de cette espèce et de déter- 

 minant — A. Les méthodes de Dirichlet permettent d'établir l'identité sui- 

 vante : 



<,*>2) '^/i^, y, ^', yF' +^/' {^^ y, '^, yy -^ ■ ■ ■= y-'^ ^,-y^j;!-ï' 



les diverses sommations du premier membre étant étendues aux valeurs 

 des entiers complexes ce, y, pour lesquelles la forme correspondante repré- 

 sente un nombre premier à 2A, et les sommations du second membre aux 

 entiers positifs n premiers à 2A; ■/. désigne le nombre de solutions de 

 l'équation // -+- A//// = i (■/. ^ 4 ^n général, /. := 8 pour A = i). 



L'identité précédente est la traduction analytique du fait arithmétique 

 suivant : le nombre total de représentations d'un entier m premier à 2A par 

 l'ensemble des formes f, f\ ... est égal (a« facteur /.prés) à la somme de ses 

 diviseurs. Pour A = i, 2, 3, les formes correspondantes ne forment qu'une 

 seule classe représentée respectivement par xv +.vv, xx -+- 2>;v, xx + i yv : 

 on en déduit le théorème de Jacobi sur le nombre de décompositions d'un 

 nombre impair en une somme de 4 carrés, et deux théorèmes analogues 

 découverts par Liouville. 



Pour déduire de l'identité fondamentale qui précède l'expression du 

 nombre de classes, il suffit de chercher les limites des deux membres, res- 

 pectivement multipliés par (.< — 2), quand s tend vers 2. On obtient les 

 formules suivantes : 



/K'î^ =1, 



le produit r. étant étendu aux divers facteurs premiers impairs, p, de A. 



La simplicité de ces formules mérite d'être remarquée. On en tire immé- 

 diatement cette conséquence que les seules valeurs de A pour lesquelles 

 A = I sont : A =: 1 , 2, 3. 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des spectres. Note de 

 M. IvAR Fredholm, présentée par M. H. Poincaré- 



Dans une thèse récemment parue, M. Rdz a réussi le premier à con- 

 struire un système mécanique dont les vibrations fondamentales obéissent 



