SÉANCE DU 26 FÉVRIER igo6. Sop 



satisfassent à l'inégalité suivante 



r(«^+c2+tr'-)rf- 



(3) 



J^{r- + TJ^y_^-^p^-)d-. 



< i'/TT 



où a représente une constante finie ne dépendant que du domaine t. 



A l'aide de ce lemme et de la démonstration de l'existence des solutions 

 du problème d'équilibre dans la théorie de l'élasticité dont j'ai donné 

 récemment les principes (Comptes rendus, 5 février), on peut démontrer 

 d'une manière analogue à la méthode connue de M. Poincaré l'existence 

 d'une infinité de triplets U/,, V^, W/^ continus avec leurs premières déri- 

 vées dans T, satisfaisant aux équations 



je 



^w, + k'^ + llw,= o, 



l\ui-h\l-i-Wl)eh=i, 



et s'annulant à la surface g. Dans ces équations nous désignons par X- un 

 nombre réel supérieur à — i , et les 11 sont des constantes positives 



o<>-;<>^K---. 



que nous appellerons les nombres correspondants aux triplets élastiques U^, 

 Va-. W,. 



Ces triplets élastiques jouent pour tous les problèmes de l'élasticité, 

 dans lesquels la surface du corps élastique est supposée en repos, le même 

 rôle que les fonctions harmoniques de M. Poincaré dans la théorie de 

 l'équation 



Aç -H ^-(p =_/. 



Chaque triplet élastique correspond à une vibration d'un corps élastique 

 dont la surface est en repos, et la durée de la vibration est proportionnelle 

 au nombre X^. 



Chaque triplet de fonctions u, v, w s'annulant à la surface a et continues 

 dans T avec leurs dérivées premières et secondes peut être développé en 



