SÉANCE DU 5 MARS 1906. 537 



espèce unique : il faut non seulement tenir compte des sous-oxydes déjà 

 connus, mais prévoir la préparation prochaine de plusieurs autres. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques conséquences arithmétiques 

 de la théorie des fonctions abéliennes. Noie de M. G. Humbert. 



Considérons les fonctions abéliennes, (F), de deux variables u, t', aux 

 périodes 1,0; o, i; g, h; h, g , liées par la relation singulière d'invariant 

 cinq : 



(i) g'^h + 



»• 



Soit K une surface de Rummer dérivée des fonctions (F) par la repré- 

 sentation classique de M. Weber : on obtient les équations abéliennes des 

 six plans singuliers de R quijpassent parlle point double O (^u ^ v = o) en 

 annulant les carrés des six thêtas normaux impairs du premier ordre, c'est- 

 à-dire, dans la notation de Weierstrass, 



(2) &^(m, (^) = o, â^, = o. &o. = o, "àl^^o, 2?;^, = 0, 2r; = o. 



D'ailleurs, ces six plans touchent un cône quadrique C, à chaque plan 

 tangent duquel on peut faire correspondre un argument unicursal : soient 

 00, I, o, oj,, Uj, (1)3 les arguments des six plans (2), pris dans l'ordre indi- 

 qué; les 0), forment un des systèmes de modules de Richelot. On trouve, en 

 utilisant les relations connues entre les carrés des six thêtas impairs, et en 

 désignant par S-^, S;, . . . les valeurs des dix thêtas pairs pour a = (^ = o, les 

 relations 



C.2 ^.2 ^2 ^2 



(3) \ i-'^. = âï5^' ' "~ '''^ = 5î|t= ' I— û>3=-|i^ 



'03 



CJ3 Cl), = c-2C-2ê-2 ' ^3 '^1 ^ 'L-yr^^- 



^2 0.2 %2 %2 &■-&•- 

 -^ 2 .3 "' 3 t "' I ,^ ~'2~'l~'o 



. , W2 ^^— ^2^2%2 



"'03 -'5-'o"'0 



D'autre part, si les périodes sont liées par la relation (i), il résulte de 

 mes recherches antérieures qu'il existe un cône quadrique, de sommet O, 

 tangent au premier des plans (2) et contenant les cinq arêtes de l'angle 

 polyèdre formé par les cinq autres plans (2), pris dans l'ordre indiqué. 



