SÉANCE DU 5 MARS 1906. 539 



dès lors, xil est une somme rie termes du type 



(8) gWMff+P/:)^ 



et le coefficient, dans &', du terme (8) pour lequel M et P sont donnés 

 s'obtiendra comme il suit. On posera 



I M = /n^ -H («, H- ^y- -f- r7i-, + {n„ -h j)- + m'; -+- (n, + ^)^ 

 (9) < P =2mt(n,-hT,)-+-(n, + ^)--h'2m,(n^-h^) -+-(n.,-h^)- 

 ( ^-2/^^3(/i,3 + i) + («3-+-i)^ 



et l'on déterminera toutes les solutions des équations (9) en nombres 

 entiers, m,-, «,-, positifs ou négatifs; le coefficient cherché sera le nombre N 

 de ces systèmes de solutions. 



De même, dans le produit &5.&„,.&23, le coefficient du terme (8) sera 

 égal au nombre N' des systèmes de solutions entières, [j.,, v,-, des équations 



M = r/.; + v; + ( >2 + i)- + v^ + (a, 4- ^)- + ^3 +■ ^y, 



P = 2[;., V, + v; + ■?.(ij.., -h ^) V, -h v;; + 2(17.3 + î) (•';, + i) + (^3 + -,y- 



('o) 



Enfin, dans le produit 'à.;,'è,.,B,.,, le coefficient sera la quantité 



On a ainsi, en vertu même de la première équation (6), la relation 



(11) N — N'+ i(- t)^-^''.+iS+-'3+' = o. 



Or les équations (9) et (10) monirent que M — f et P — ^ sont fies 

 entiers de même parité, et que (a, + Vj + [^3 -H v, est pair : la relation (i i) 

 s'écrit dès lors 



N = 2N'. 



Ce résultat prend une forme bien plus intéressante si l'on ajoute membre 

 à membre les relations (9) après avoir multiplié la seconde par la quan- 

 tité j(i -I- v'5), qui est une unité du corps quadratique y/5, et que nous dési- 

 gnerons par p. 11 vient ainsi 



M + Pp = [m, 4- (,«, -I- ^)p]--h [wa-H («, + ï)?V+[m^ + («3 + DpJ'- 



et, réciproquement, cette équation entraîne les deux relations (9). On 

 trouve de même, en partant de (10), 



M + Pp = ((., + V, p)= + (a, + ^ + v,p)^ + [j.3 + ^ 4- (V3 + |)p]S 



