SÉANCE DU 5 MARS 1906. 54l 



décompositions de 4M H- /JPp selon les deux formules 

 ([) (2m, -h 2n,p)=4-(2/7^,-^-2«,p)=+(2/?^3^-2«3p)^ 



(U) [2jX,+(2v,+l)p]=+(2[^, + I-f-2v,p)^ + [2[J.3 4-I+(2V3+l)p]^ 

 Jî / p , \ 



i" Si ^MP 4-1 mod2, le nombre des décompositions (II) est 



égal à huit fois le nombre des décompositions (I); cette fois, les décompo- 

 sitions (I), qui difl'èrenl seulement par l'ordre des termes, ne comptent (]ue 

 pour une seule; une décomposition (I), dans laquelle deux des quantités 

 27W,-t- 2«,p sont égales, ne compte que pour ^; enfin, les trois quantités 

 2W,+ 2/?,p ne peuvent être égales entre elles. 



2° Si ^-^ ^=MPmod2 et si -^ — ^ e^MP + M 4- P + r mod2, le 



2 2 



le même énoncé subsiste. 



30 Si £iillli]==MP et '^^'^^~'^ =MP + M + Pmod2, le nombre des 



2 2 



décompositions (II) est quatre fois celui des décompositions (I) avec les 

 conventions que voici : les décompositions (I) qui ne diffèrent que par 

 l'ordre des termes ne comptent que pour une; celles ou deux au moins des 

 quantités 2/7z, -|- 2/i,p sont égales comptent pour zéro; de plus, si M est 

 pair, une décomposition où tous les /n, et tous les «, ont la parité de P 

 compte pour séro; si M est impair, une décomposition où tous les/??, ont la 

 parité de P + i et tous les n, la parité de P compte également pour zéro. 



On obtiendrait des propositions de même nature en faisant g' z= h -\- g 

 dans les relations classiques entre les dix thêtas pairs d'arguments nuls, et 

 d'autres, moins banales, en partant d'équations spéciales au cas de la rela- 

 tion (i), telles que celles-ci : 



5. o.i4" — 12.34.23- -f- 2.4.03.01 = o, 

 34.14.23^ + 01.03.12^ — 0.2. 4. 5 = 0, 



qu'on déduit assez aisément, au nombre de quinze, des équations (6) et (7). 

 Enfin les relations entre les dix thêtas, qui caractérisent les cas singu- 

 liers g' ^ ig, g' = 3g, conduisent à des propositions sur les décomposi- 

 tions en carrés des entiers appartenant aux corps quadratiques \f2. et \/3. 



G. K., 1906, I" Semestre. (T. CXLII, N° 10.) 



