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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la déformation des quadriqnes. 

 Note de M. Luigi îîianchi. 



I. Dans mes dernières recherches sur la déformation des surfaces géné- 

 rales du second degré, j'ai reconnu l'existence d'un élément géométrique 

 nouveau, qui doit jouer, il me semble, un rôle fondamental dans toute la 

 théorie des transformations de cette classe de surfaces applicables. Il s'agit 

 d'une classe particulière de congruences rectilignes W ('), dont les deux 

 nappes de la surface focale sont applicables sur une même quadrique, d'ail- 

 leurs quelconque. 



La première proposition fondamentale de la nouvelle théorie est donnée 

 parle théorème suivant : 



Théorème A. — Toute surface (S) applicable sur une quadrique () {quel- 

 conque) appartient, comme première nappe de la surface focale, à une double 

 infinité de congniences W, dont la deuxième nappe (S^) est applicable sur la 

 même quadrique Q. 



C'est dans le passage de (S) à (S,) que consiste une de nos cc^ transfor- 

 mations (le la surface (S) applicable sur Q. Pour effectuer la transforma- 

 lion, on aura à intégrer une équation de Riccati, dont les coefficients con- 

 tiennent une première constante arbitraire, la deuxième constante étant 

 introduite par l'intégration. La présence Je ces deux constantes arbitraires 

 permet, pour un point P de (S), d'assigner comme l'on veut, dans le plan 

 tangent à (S) en P, le point correspondant P, de (S,), ce qui fixe la trans- 

 formation, lia ])remière constante, qui figure dans l'équation de Riccati, 

 sera désignée par c et la transformation même sera dite une transforma- 

 tion Bg^. 



Il résulte déjà des propriétés de l'équation de Riccati que l'application 

 successive de la même transformation B^ aux nouvelles surfaces (S,) exi- 

 gera seulement des quadratures et ainsi de suite indéfiniment. 



IL On peut aller bien plus loin, en s'appuyant sur la deuxième propo- 

 sition fondamentale qui résulte du théorème suivant : 



Théorème B. — Si, en partant d'une surface. (S) applicable sur la qua- 



(') J'appelle coiigfueitca W toute con^^rueiice recliligne telle que sur les deux 

 nappes de la surface focale les ligues asymptoliques se correspondant. 



