SÉANCE DU 5 MARS 1906. 5G3 



drique Q, on a déduit deux pareilles sur/aces (S,), (So), à l'aide des deux 

 transformalions B^^, B^,, dont les conslanles c,, g^ soient différentes, il existe 

 une quatrième surface (S'), parfaitement déterminée, qui se trouve liée aux 

 mêmes surfaces (S,),(So) respectivement par deux transformations B^^, B'^_, 

 avec les mêmes constantes échangées (' ). 



Celte proposition, à laquelle je donne le nom liè théorème depermutabi- 

 lité, démontre qu'il suffit d'intégrer la première équation de Riccati(pdur 

 une valeur quelconque de la constante a), après quoi l'application indéfi- 

 niment répétée de la méthode de transformation n'exigera plus que des 

 calculs algébriques sans aucune quadrature. 



m. Je voudrais indiquer ici une première voie qui conduit à établir le 

 théorème A. On sait que M. Darboux, dans ses belles rfeéherches insérées 

 dans le Tome CXXVIII des Comptes rendus (mars-avril 189g.) et reproduites 

 dans le Tome XVI (3" série) des Annales de l'École Normale supérieure, a 

 fait tiépendre la déformation des quadriques générales d'une classe parti- 

 culière des surfaces isolhermiques. 



En poursuivant ces recherches de l'éminent géomètre, j'ai démontré (^ ) 

 que, parmi les 00* transformées de Darboux d'une telle surface isother- 

 mique spéciale, il y en a ce' qui sont encore isothermiipies spéciales de la 

 taême classe, c'est-à-dire telles que la quadrique associée Q l'esté la même. 

 Il èh i-ésultâit une méthode de transformation polir les surfaces applicables 

 sur les surfaces générales du second degré. Je trouve maintenant qaune 

 telle transformation de Darboux se décompose en deux successii'es de nos nou- 

 velles transformations B^. Ces dernières fonctionnent donc vraiment en 

 éléments simples, pour la théorie des transformations. 



IV. Par les deux théorèmes A et B notre nouvelle théorie est sûrement 

 fondée. Mais bien des développements sont encore nécessaires, surtout au 

 point de vue réel, pour séparer les divers cas. Pour les quadriques de révo- 

 lution et aussi pour les paraboloïdes généraux, j'ai déjà poussé jusqu'au 

 bout les recherches indiquées dans deux travaux récents ('). 



(') On peut dire aussi que chaque couple de surfaces (S), (Si), applicables sur la 

 quadrique Q et liées enlre elles par une B^^, est changé par une B^^^ quelconque en 

 un nouveau couple de telles surfaces (Sj), (S'), qui sont ericore liées par une B^^. 



(-) Voir mon Méuioire Suite superficie isolernie e sulla dej'orinazione délie qua- 

 driche {Annali di matematica, 3' série, t. XI, 1905 ). 



(*) Mentàrie délia Socielà ïtaliàna délie Scienze (dëltà dei XL), 3= série, 

 t, XIV, 1905, et Annali di MaleinaUca, 3"= série, t. XII, 1906. 



