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En général les surfaces réelles applicables sur les quaciriques (réelles ou 

 imaginaires) se partagent en deux catégories. Pour toute surface (S) de la 

 première catégorie les co* congruences W du théorème A sont réelles et les 

 transformations simples B^ conduisent de (S) à des surfaces dérivées (S,) 

 qui sont encore réelles. Dans l'autre catégorie les oo^ congruences W sont 

 forcément imaginaires; mais alors il suffit de composer, d'une manière 

 convenable, deux pareilles transformations simples, imaginaires conju- 

 guées, pour avoir une transformation résultante réelle. 



Ce sont, comme l'on voit, les mêmes circonstances désormais bien fami- 

 lières dans la théorie des transformations des surfaces [\ courbure constante 

 négative ou positive (c'est-à-dire des surfaces applicables sur la sphère 

 imaginaire ou réelle), qui se présentent encore ici pour les déformées des 

 quadriques générales. 



Je crois en pouvoir conclure que les congruences W introduites donnent 

 pour la théorie de la déformation de toutes les quadriques une source géo- 

 métrique féconde, qui est en même temps la plus simple et la plus natu- 

 relle. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités des solutions des équations 

 aux dérivées partielles du type elliptique. Note de M. Serge Bernstein, 

 présentée par M. Emile Picard. 



, . ô'-z d^z j.f dz d 



(0 w7T + ïï7î=/l^'J'- 



Considérons l'équation 



(Pz_ _ 



dx' ' df' ~ -' V"' ^ ' "' dx' dy 



oh/(x, y, z, -T-^; -T^j est une fonction analytique «les 5 variables x, y, z, 



—1, —1 régulière pour tout ensemble de valeurs réelles et finies de ces 



àx oy ^ ^ 



variables. Lorsqu'on se donne une solution z de l'équation (i) il est naturel 

 de rechercher les relations qui existent entre ses singularités dans tout le 

 plan et ses propriétés à l'intérieur d'un cercle C qui peut être aussi petit 

 qu'on veut. J'ai eu l'honneur de présenter à TAcatlèmie, le 29 mai igoS, un 

 résultat fondamental (') que j'ai obtenu dans celte voie. Je me propose 



(') Voir également mon article Sur la généralisation du problème de Diriclilet 

 {Matheni. Ann., 1906). 



