SÉANCE DU 5 MARS 1906. 565 



aujourd'hui de compléter ce résultat par de nouvelles propositions que j'ai 

 établies récemment. 



Théorème A. — Si une solution z de l'équation (i) est régulière pour toute 

 valeur réelle finie de x et y, elle se réduit sur une circonférence quelconque C à 

 une /onction entière de l'arc 0. 



Théobème B. — Si, sur la circonférence C, z se réduit à une fonction ana- 

 lytique de l'arc 'û(6), telle qu'aux points singuliers les plus rapprochés de l'axe 

 réel I 9(0) I 4- ç'Ci) | croît indèfininient , la singularité de s la plus approchée 



du cercle C sera telle que | s | -+- ^ + ^ croît indéfiniment. 



Si, au lieu de tions placer dans le cas général, nous supposons / linéaire 

 par rapport à z, -^, -^, de sorte que l'équation (i) devient 



(^) £' + |i = M^J)= +B(^y)^ + C(a.y)| +D(a.j). 



nous aurons de plus les propositions suivantes : 



Théorème C. — Le point singulier de z le plus rapproché du cercle C 5e con- 

 fond avec le point singulier de la fonction harmonique qui prend les mêmes 

 valeurs sur C (et par conséquent peut être facilement déterminé i\ priori). 



Dans le cas des équations linéaires, la réciproque du théorème A est éga- 

 lement exacte, de sorte qu'on a : 



Théorème D. — Si, sur un cercle C, la solution z (régulière à son intérieur) 

 se réduit à une fonction entière de l'axe 0, elle n'a pas de singularités réelles à 

 distance finie. 



Si nous supposons, en outre, que A, B, C, D sont des fonctions entières 

 de X et de y, nous pouvons indiquer encore deux propositions intéressantes: 



Théorème E. — Si, sur la circonférence C, le rayon de convergence de z 

 considérée comme fonction de 9 n'est jamais inférieur « R, les rayons de con- 

 vergence des dérivées partielles de z d'ordre quelconque considérées comme 

 fonctions de 6 sont également supérieurs ou égaux à R. 



Le théorème D peut donc être complété de la façon suivante : 



Corollaire. — Si, sur un cercle C, z se réduit à une fonction entière de 0, 

 elle se réduit sur un cercle quelconque ainsi que ses dérivées de tous les ordres à 

 une fonction entière de l'aie. 



c. R., 1906, I" Semestre. (T. CXLII, N" 10. 75 



