SÉANCE DU 12 MARS igo6. 6l5 



L'égalité (i4), jointe aux inégaUtés (5) et(6), nous montre que, pour les 

 valeurs de p, suffisamment voisines de po> l'i fonction P(?i) croît avec p,. 

 Dès lors, les égalités (i) donnent toujours ries valeurs réelles pour <)^, v'), tant 

 que p, est suffisamment voisin de p^. 



Les égalités (12), (12 te) et (i3) montrent que, pour les valeurs de p, 

 si|ffisamnient voisines de p„, S(p,) est une fonction croissante de p,. En 

 est-il de même pour toute valeur de p, inférieure à p,,? Pour que S(f)|) 

 cessât, pour une certaine valeur de p,, d'être fonction croissante de p,, il 



faudrait que -y;- s'annulât pour cette valeur; alors, en vertu de la démon- 



dV 

 stration précédente, -r- serait positif; il en serait de même de (po — Pi) et, 



en outre, selon (i), de (n„ — II,) si ■(?„, ç, sont réels. L'égalité (11) serait 

 alors une absurdité. Dès lors, l'inégalité (2) conduit à la conséquence sui- 

 vante : 



Tant qu'une quasi-onde de choc peut se propager avec une vitesse réelle en 

 un fluide mauvais conducteur, la densité est plus grande en amont de l'onde 

 qu'en aval. 



La quasi-onde se propagera-t-elle avec une vitesse réelle (juelle que soit 

 la valeur de p,, inférieure à p„? Si cette AÎtesse devait devenir imaginaire 

 pour une certaine valeur de p,, il faudrait que, pour une valeur de p, com- 

 prise entre celle-là et p„, on eût '^' ^= o. Or, pour celte dernière valeur 



de p,, " ' ' serait positif d'après le théorème précédent. Dès lors, l'éga- 

 lité (9), jointe aux inégalités (6) et (7), nous apprend que '^'^ est positif 



ctpi 



pour cette valeur. 



D'ailleurs, l'égalité (8) devient alors 



En vertu des inégalités (5 ) el (6), elle donne 



^P(Pi) ^ , rfP(p,) 



— T^ — > O et non — —^ = o. 



«Pi ^Pi 



Donc, au sein d'un fluide qui se dilate par une élévation de température, 

 une quasi-onde de choc se propage avec une vitesse réelle, quelle que soit la 

 grandeur de la discontinuité. 



