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J'ai donné des applications de ce concept dans quelques questions d'analyse. J'ai 

 làclié en efl'et de Templover dans l'étude des fonctions analytiques de plusieurs variables. 

 Toute opération algébrique ou de dérivation appliquée à ces fonctions conduit à de 

 nouvelles fonctions analytiques, mais les opérations d'intégration nous amènent à des 

 fonctions qui dépendent des contours des domaines d'intégration et par conséquent à 

 des quantités qui dépendent d'autres fonctions. 



Lorsqu'on veut étendre les méthodes de }IamiIton et de Jacobi sur les questions de 

 la Mécanique aux systèmes continus et aux problèmes de la Physique mathématique, 

 on est aussi amené d'une manière toute naturelle à ces concepts. 



Les problèmes qui présentent le plus d'intérêt sont ceux où les fonctions dont 

 dépendent les quantités qu'on envisage sont inconnues, et il faut les déterminer par 

 des propriétés de ces quantités. Les problèines du calcul des variations nous en offrent 

 les premiers exemples et aussi les plus simples. Mais il y a aussi d'autres questions qui 

 s'y rapportent. Ce sont les problèmes de l'inversion, et en particulier ceux des inté- 

 grales définies où les fonctions inconnues paraissent sous les intégrales. 



C'est en poursuivant ce but, et en vue du problème général dont j'ai parlé, que j'ai 

 étudié il y a quelques années ce problème dans le cas le plu'^ simple possible, celui où 

 le déterminant fondamental est égal à sa diagonale ('). M. Fredliolm, dans un remar- 

 quable travail, a étudié le problème dans le cas où le déterminant est quelconque 

 en arrivant à des résultats du plus giand intérêt et M. Hilbert vient de reprendre la 

 question en y faisant des applications très étendues. 



Le concept que nous avons exf)Osé des fonctions qui dépendent d'une 

 auLie fonction on de plusieurs fondions se rattache flirecLemeiit à la défi- 

 nrlioii de fonction donnée par Dinchlet. Li ciiti pie de celle définition a 

 donné lieu à bien des discussions parmi lesquelles celles toutes récentes de 

 M. Pierre Bontroux sont très intéressantes. Il est évident que le concept 

 est altaché à celui de loi physique, mais je n'entrerai pas dans cette ques- 

 tion, je remarquerai seulement qu'en posant successivemenl cerlaines con- 

 ditions et cerlaines limitations on peut passer du concept de fonction tel 

 que l'a posé Dirichlet à celui de fonction analytique. Il est inutile de rap- 

 peler ces conditions qui sont bien connues et qui se rapportent à la conli- 

 nnité, à l'cxislence des dérivées, etc. 



CJii peut procéder de la même manière ilins le cas des fonctions qui tlé- 

 pendent de toutes les valeurs d'une lonction ou de plusieurs fonctions. 



Envisageons le cas le plus simple, celui d'une quantité F qui dépend des 

 valeurs d'une fonction continue /"(a?) définie pour les valeurs de x com- 

 prises entre a et b. Il n'y a pas de difficulté à étendre le concept de con- 



(') Sa lia inversione degU inlcgrali definUi, Nota I, § 3 {Atli R. Ace. di Torino, 

 1896), et Notes suivantes. 



