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Il faut remarquer que les fondions qui dépendent d'une autre fonction 

 et qui ont cette représentation analytique sont tout à fait spéciales et qu'on 

 peut en envisager de plus générales ayant aussi des représentations analy- 

 tiques. Les différents termes du second membre constituent des fonctions 

 de dififérents degrés et l'on peut envisager F comme une quantité qui 

 dépend de (p par une relation analytique du même type, par exemple des 

 fonctions transcendantes. 



Pour montrer le parti qu'on peut tirer dans certains cas du développe- 

 ment, je vais en faire une application à l'un des problèmes dont j'ai parlé. 



Supposons qu'on écrive l'équation suivante 



.dl„ 



« étant une quantité donnée et ^{cc") étant connue pour les valeurs de x 

 comprises entre a et b, tandis que 9(37) est une fonction inconnue. 



Le cas le plus simple est celui où F", F", ..., F'", ... sont nulles, c'est- 

 à-dire où l'on a 



C'est le cas de l'inversion qui a été envisagé par M. Fredholm et par moi- 

 même lorsque la limite supérieure de l'intégrale est égale à x. Dans un 

 cours que je viens de faire à l'Université de Stockholm j'ai montré que l'on 

 peut résoudre le problème général de déterminer ç(a;). Ce problème cor- 

 respond à la détermination de la racine d'une équation transcendante et 

 se résout par une simple remarque. Il suffit de développer £<?(a;) suivant 

 les puissances de & en supposant qu'à £r =: o corresponde s = o. 

 C'est pourquoi calculons 



\d [Eo{x )-]^ _1V/(S9)) i r/^[sy(x)] ^ _\ (r-{t<f) ) 



On trouve alors 



