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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les (iffixes des racines d'un polynôme 

 de degré n et du polynôme dérivé. Noie de M. J. Jl'hel-Kéxov. 



Considérons dans un plan n points A;, (X' = i, 2, ...,/«) donnés par les 

 équations 



A^^ mXj + vY,^ +1 = 0. 

 L'équation 



2^ = 



est l'équation tangentielle d'une courbe de classe {n — i) tangente, en 

 leurs milieux, aux droites qui joignent deux à deux les points A;^' 



D'ailleurs, les tangentes menées à la courbe du milieu de A„,A^, par 

 exemple, et distinctes de A;„ A^„ sont tangentes à la courbe de classe (/i — 3 ) 

 tangente, en leurs milieux, aux droites qui joignent deux à deux les (n — 2) 

 points A;( autres que A^ et A^,. 



D'après cela on peut énoncer ce théorème : 



Thkorème. — Soient ^^ (k = ] , 2, . . ., n) les affixes des racines d'un po- 

 lynôme f{z) de degré n. Les affixes des racines du polynôme dérivé sont les 

 foyers réels d'une courbe de classe (n — 1) tangente, en leurs milieux, aux 

 droites (jui joignent deux à deux les points A;,. 



Théorème auquel on peut encore donner la forme suivante : 



Théorème. — Les positions d'équilibre d' un point mobile attiré par n points 

 fixes Af^{k ^ 1, '2, . . ., n^ de même masse, en raison inverse de la distance, 

 coïncident avec les foyers réels d'une courbe de classe (n — i) tangente, en leurs 

 milieux, aux droites qui joignent deux à deux les centres d'attraction. 



Remarque. — On démontrerait, absolument de la même manière, que 

 l'équation 



^"* — " (^ = 1, 2, ..., n) 



n{n — i) 



A 



k 



représente une courbe de classe (/< — i) tangente aux droites joi- 

 gnant deux à deux les points A;^, le point de contact divisant le segment A;^ A^ 



dans le rapport -, et l'on aurait un théorème analogue au précédent 



et relatif à n centres d'attraction de masse m^. 



