7)8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



degrés dans toutes ses lignes, toutes ses colonnes et ses deux diagonales et, 

 en outre, l'égalité aux n — ï premiers degrés dans toutes les directions de 

 ses diagonales. 



Théorème. — On peut toujours construire un carré cabalistique aux 

 n premiers degrés de côté p", quelle que soit la valeur de n, si le plus petit divi- 

 seur de p est un nombre premier suffisamment grand. 



La construction d'un carré cabalistique aux n premiers degrés est un 

 problème élémentaire, qui ne dépend que de congruences du premier 

 degré, et n'exige que la connaissance de quelques théorèmes presque évi- 

 dents. 



Dans ce qui suit, nous supposerons toujours les nombres écrits dans le 

 système de numération dont la base est le nombre premier />. 



J'appelle somme congruenle de deux nombres a^a^. . .a,, et b^bi. . .h,., par rapport 

 au module premier /j, le nombre <'iC.,. . . .c,- dont les cliifïres sont déterminés par les 

 congruences 



Ci=«i+i,, C2=(7,H Aj, ..., f,.= «,.-t- A,. (mod/*). 



Exemple : 5432 + 3i64 = iSaG ( mod 7). 



La conception de la somme congruenle entraîne évidemment celle de la multiplication 

 par un nombre entier 



235i + sSSi -t- 235i =: 3 X 235i r:z GaiS (mod 7). 



J'appelle .çe/'/e /itimcrate (/',), par rapport au module /), la suite des p nombres o, 

 /',, 2/1, ..., {/) — i)/',, considérés dans l'ordre indiqué. 



Par exemple, la série numérale (5432), de module 7, s'écrira 



0000 5432 3i64 1026 GïSi 46i3 2345. 



Prenons un nombre /■.,, assujetti à la seule condition de ne pas figurer parmi les 

 p nombres de la série numérale (/'i), et examinons les p- nombres écrits dans l'ordre 

 suivant, dont la loi de formation est déterminée par les séries (/•,) et (r.,). 



[o, /■,, 2/-,, ...,(/-— l)/-l], [fJ +•'•■>, ''1+ '-2, 2/-, + /•.,. ..., (/>— l'i'-lH-'^], 

 [o -H 2/-2, /\-h 2/-0, 2/', 4- ■>./■.,. . . ., {p — l)/-i-t- 2/-„ ], . . ., 



[o + (/) — !)/■„ /•, 4-(/^ — i)''i. 2''i-t-(/' — ')'--2- ■■■, {p — i)r,+ (p — i)r,]. 



Appelons série numérale {r^r.,) les y;- nombres ainsi disposés. 



On démontre très fiicilemcnt <|ue les p- nombres de la série (''i''2) sont tous difle- 

 renls. 



Pareillement, si /j c>t un nombre n'appartenant pas à la série numérale {r^r,), on 

 obtiendra une série numérale (r, r.,/-3) composée de y>^ nombres diderenls, qui se suc- 



