SÉANCE DU 26 MARS 1906. 761 



cKi poinL y = o et s'annulant, ainsi que ses deux premières dérivées, 

 pour y = o, 



(2) *(.}') = a3_r' + a,,7'+...-{- a„ v"-i- 



D'après un théorème général (^Comptes rendus, t. CXXV, p. 640), l'équa- 

 tion (r) admet une intc^grale holomorj)hc z^Y(^x,y^, ilans le domaine 

 des valeurs x = o, y =^ o, se réduisant à zéro pour y = o et à $(7) pour 

 07 =: o, et celle intégrale admet tous les éléments de la caractéristique T. 

 Pour l'étudier dans le voisinage de cette caractéristique, il est naturel 

 d'ordonner le développement en série entière de z suivant les puissances 

 de y 



(3) z = '^,(x)y' + A, {œ)y' + ... + '!^,{œ)y" + . . ., 



A), li, ..., A„, ... étant des fonctions holomorjîhes de x dans le domaine 

 de l'origine qui prennent respectivement les valeiu's ocj, a,, ..., a„, ... 

 pour X = 0. Ces coefficients peuvent être déterminés de proche en proche 

 par des équations différentielles. Si l'on substitue en effet le développement 

 précédent dans l'équation (i) et qu'on égale les coefficients des mêmes 

 puissances de y dans les deux membres, on a d'abord pour déterminer ij;^ 

 une équation de Riccatti : 



(4) 3y,=-E + (3C + 6F)(L,H-36H(J;3)^ 



les coefficients i„ (/z^3) sont ensuite déterminés de proche en proche 

 |)ar des équations linéaires : 



(5) «'I/^, = [«C 4- 6«(« — i)l<' -h i2n(n — i)H(J/3]<]/„+ R, 



R étant un polynôme entier par rapport aux coefficients de l'équation (i), 

 aux fonctions •^^, ..., An-,, et à leurs dérivées du premier et du second 

 ordre. 



(^ela étant, si l'intégrale de l'équation (4) qui prend la valeur 013 pour 

 x^o, est holomor|)he dans un domaine simplement connexe D'^., intérieur 

 à Dj, il en sera de même des fonctions suivantes Ô4, ..., A„, ... dans le 

 même domaine et l'on obtient un développement de la forme (3), satis- 

 faisant formellement à l'équation ( i) et dont tous les coefficients sont des 

 fonctions holomorplies de x dans D',.. La convergence tie ce développement 

 résulte du théorème suivant : 



Lorsque l'intégrale '^^{x) de l'équation (4) qui prend la valeur a., pour 



