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X =: o est holoinnrphe dans un domaine simplement connexe D^, intérieur 

 à D,., l'intégrale z =r Y(x, y) de l'équation fi") qui satisfait aux conditions 

 initiales 



Y(o, y) = ^(y). F^a;. o) = o 



est une fonction holomorphe des i^ariables x et y, lorsque x décrit le do- 

 maine D'j , le module de y restant inférieur à un nombre positif r, convenable- 

 ment choisi. 



2. Les seuls points singuliers de l'intégrale sur la caractéristique Y sont 

 donc les poinis singuliers de <]/., (ar). Les fonctions E, C, F, H de la variable a? 

 étant holomorphes dans le domaine simplement connexe D^;, l'intégrale 

 ^i{x^ de l'équation de Riccatli (4) ne peut avoir comme points singuliers 

 dans ce domaine que des pôles, dont la position varie avec la valeur initiale ag 

 pour X ^ 0. Les intégrales de l'équation (i) qui admettent tous les éléments 

 de la caractéristique r ont donc, en général, des points singuliers mobiles 

 sur celle caraclérislique. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de variables 

 réelles et que les coefficients de l'équation (i) soient des fonctions holo- 

 morphes (le X le long d'un segment de l'axe réel compris entre deux 

 poinis A et B d'abscisses a et è (a<^o<^/>). Si l'équation (4) n'admet 

 aucune intégrale réelle continue dans l'intervalle («,/>), on peut affirmer 

 que toute surface intégrale de l'équation (i) passant par cette caractéris- 

 tique admet au moins un point singulier sur le segment AB. 



3. La méthode précédente peut s'étendre, avec quelques modifications, 

 à des systèmes différentiels beaucoup plus généraux. Dans le cas parti- 

 culier d'une équation de Monge-Ami)ère admettant la caractéristique du 

 premier ordre 



y = z=p = q = 0, 



on peut mettre cette équation sous la forme 



(6) s = F(x, y, z, p, q, r, yt, zt,pt, qt, ri), 



le second membre étant une série entière ordonnée suivant les puissances 

 de r, z, p, q, r, yt, :t, pi, ql , ri, dont les coefficients sont des fonctions de x. 

 Toute intégrale admettant la caractéristique précédente est représentée 

 par un développement de la forme 



(7) -=.r^2-^j'J'3-f---- + j"'l^«+---. 



le premier coefficient ^.. est déterminé par une équation de Riccatti et les 



