^64 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Considérons maintenant l'ensemble représenté en coordonnées polaires 

 par 



co=|+-E[pv/i-i]. 



Il contient le point a- ^ i, y ^ i to = 1", p = y/2 . Il est discontinu et toute 



droite issue de l'origine le rencontre en un point au moins. Comme tout à 

 l'heure, construisons sur chacun de ses points un ensemble semblable à 

 j' = E(ic). On obtient un ensemble qu'on démontre être par/ai/ et, quoique 

 somme d'une infinité non dénomhrable d'ensembles discontinus, on conçoit 

 bien qu'il ne contient aucune ligne. Cet ensemble est tel que sa projection 

 sur /o«^e droite du plan comprend une portion continue. 



Ajoutons à l'ensemble précédent son symétrique par rapport à la bissec- 

 trice de l'angle xOy; on peut voir alors qu'il existe une aire (un cercle 

 ayant pour centre l'origine et pour rayon ^) telle que toutes les droites 

 qui passent par un point quelconque de cette aire contiennent un point du 

 nouvel ensemble discontinu. Par une infinité dénombrable de translations 

 oti peut, au moyen d'une telle aire, recouvrir tout le plan. Si, sur chacune 

 de ces aires, on construit un ensemble égal au premier, la somme de tous 

 ces ensembles est discontinue et il y a un point de cet ensemble somme 

 sur n'importe quelle droite du plan. 



Je voudrais enfin faire une remarque au sujet du théorème même 

 qui fait l'objet de la Note de M. Riesz, savoir qu'il existe une ligne sans 

 point multiple passant par tous les points d'un ensemble discontinu. J'ai 

 démontré qu'on peut aligner les points d'un tel ensemble sur une ligne 

 cantorienne ou continu linéaire; le point de vue de M. Riesz est celui de 

 M. Jordan où une ligne est définie par des fonctions continues et peut 

 alors recouvrir tout une aire, passeï', par suite, par tous les points d'un 

 ensemble discontinu borné. J'ajoute que la ligne dont je démontre l'exis- 

 tence est une ligne particulière : la frontière d'un continuiim. Je me pro- 

 pose de revenir sur cette classe de continus linéaires dont l'importance 

 apparaîtra si l'on songe que, lorsqu'une fonction analytique poursuivie 

 analytiquement admet une aire singulière, les points singuliers qui en 

 seront réellement mis en évidence sont uniquement les points de la fron- 

 tière. 



