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hypothèses. Elle équivaiiL à h^ suivante : 



. 2 /i . . 

 sin 



lim f Vc^) l3ng- 1 f^^ == o 



ce qui veut dire que : 



III. La fonctiony(ir) tang— [ou si l'on veut x /(a)] a sa série de Foiirier 



convergente pour a; := o. 



Si les conditions I, II, III sont remplies, non seulement a„ et b„ ont 

 pour limite zéro, mais il en est de même, ciMume on le voit aisémeni, des 

 intégrales 



( f^ /'(0)X(0)sin7?fJr/0, 



(A) -.: ■ 



I f [/(0)A(0)+/(-0)A(-0)jcos/^Or/0, 



)k(0) désignant une fonction bornée ayant une dérivée finie pour = o. 



Or la somme des n premiers termes de la série S peut s'exprimer par 

 l'intégrale de Dirichlet 



/ S!n(2/i-|-l) 



/ sin 



à la condition de réunir sous le signe / les éléments qui correspondent 



à des valeurs de égales et de signe contraire, pour 6 voisin de zéro, et la 

 partie de cette intégrale relative à l'intervalle ( — a, -+- a) ne conten:!nt 



pas le point se, tend vers zéro avec -; en effet, en posant /(6) = 



I 



^7i' 



on aura à considérer 



r"sin(2« + i)^^l(OX/(0)r/0, 



ce qui se ramène immédiatement à des intégrales du type (A). 



Donc, le voisinage du point 9 = o n'a aucune influence sur la conver- 

 gence de S„. 



On peut donc conclure que, si les conditions I, II, III sont vérifiées, la 



