SÉANCE DU 26 MARS 1906. 767 



condition nécessaire et suffisante pour que la série (S) converge vers/(a7) 

 est que la fonction égale à f{x), dans le voisinage du point x, et à zéro 

 partout ailleurs, soit représentable par sa série de Fourier. 



On pourra ainsi appliquer les critères connus de convergence des séries 

 de Fourier à des classes étendues de fonctions non intégrables. En voici 

 des exemples : 



1° Posons 



/(■^) = 



«log^loglogi 



ijour 



et 



o<a;<a ( ='- < ^ 



/(.r)+/(-:r) = o. 



La fonction ainsi définie satisfait aux conditions I, II, IH ('). Elle est 

 développable en série de la forme 



. T. . Il-Tt 



a, sin - a; -h . . . + a,, SI n — x + 



% y. 



On peut remarquer que |/(t)| n'est pas intégrable, mais que /(ic) 

 t'est; la série précédente appartient donc à la classe des séries de Fourier 

 généralisées, c'est-à-dire de celles dont les coefficients sont donnés par les 

 formules de Fourier calculées au moyen des fonctions primitives. 



2° Au contraire la série convergente 



■^ sin nx 



Md log/j 

 2 



représente une fonction qui n'est, à aucun point de vue, intégrable dans 

 un intervalle comprenant le point x = o. On voit facilement, en effet, que 



son intégrale indéfinie ^ — ; ne tend pas vers une limite finie quand /z 



2 

 tend vers zéro. 



(') Pour lit cela résulle d'un critère de convergence des séries de Fourier, dû à 

 MM. Lipschilz et Dini. 



