SÉANCE DU 26 MARS 1906. 769 



Les fonctions 0,(U, V) auxquelles conduit la transformation précédente 

 ont également leurs périodes G, H, G' liées par une relation singulière ; mais 

 on peut considérer les mêmes fonctions 0,(U, V) répondant à des périodes 

 générales, et, eti les égalant aux coordonnées X/, on obtient une surface 

 hyperelli[)tique S(U,V), dépendant de trois modules, dont la surface 1 

 n'est qu'un cas singulier. 



Il y a lieu de remarquer que les fonctions 0/(U, V) ne sont pas les fonc- 

 tions thêta d'ordre S les plus générales, car elles doivent satisfaire aux 

 relations (i). On peut dire qu'elles admettent le Tableau suivant de 

 périodes 



G H 



(T) 



S a 



H G' 



D'où cette conclusion : Les surfaces hyperelliptiques définies au moyen 

 des fonctions intermédiaires singulières sont identiques aux surfaces 

 définies au moyen des fonctions thêta qui répondent au Tableau de pé- 

 riodes (T). 



Si l'on donne aux entiers /, /c, D les valeurs particulières 



/=S, k=i, D = S(S-i), 

 le Tableau de périodes (T) est équivalent au Tableau 



G H 



(T') 



I 

 - o 







H G' 



et l'on est conduit aux fonctions thêta étudiées par M. Traynard. 



Voici un exemple où la méthode précédente conduit à une surface du 

 quatrième ordre à huit points doubles. Soient /, k, D trois entiers tels que 



/--Dyt-=2. 



Il existe quatre fonctions (f(u, v) d'indices 2/, 2.k de caractéristique non 

 nulle, de parité donnée, linéairement distinctes, et elles s'annulent. toutes 

 pour huit demi-périodes P,. La surface S pour laquelle les coordonnées 

 homogènes d'un point sont proportionnelles à ces quatre fonctions est du 

 quatrième ordre; elle possède huit droites D,, correspondant aux demi- 

 périodes P,, et huit points doubles correspondant aux huit autres demi- 

 périodes. 



