SÉANCE DU 2 AVRIL 1906. 8.2() 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Fur les fonctions hypertranscendantes. 

 Note de M. Edmoxd 3Iaillet, présentée par M. Jordan. 



J'appelle /onc//o« hypertranscendanle (' ),v de x une fonction y qui ne 

 satisfait formellement à aucune équation différentielle rationnelle 



./(■r,.r..v' .v^) = o 



dont le premier membre est un polynôme en x, y, y', . . . , y*'. 



J'ai obtenu au sujet des fonctions hypertranscendantes le théorème 

 suivant, qui présente de grandes analogies avec un théorème analogue de 

 Liouville relatif aux nomlires transcendants et qui a des conséquences de 

 même nature : 



Soit c(^x) une fonction non rationnelle donnée, quotient de deux séries de 

 Maclaurin (-) 



(0 '; = ( 2^"'-^'")(Il''"'^" 



f — P O ' f — p ' 



des fractions rationnelles, fonctions réelles ou imaginaires de x, en nombre 

 infini, ayant des valeurs distinctes; par hypothèse, i — I„ est. pour x infini- 

 ment petit, un infiniment petit d'ordre a„ C) toujours croissant avec n, et les 

 P„, 0„ sont des polynômes en x de degrés respectifs p,„ q„ dont l'un au moins 

 croît indéfiniment avec n. 



1° Lorsque ç est solution formelle d'une équation différentielle rationnelle 

 donnée f{x, y, y' , . . . , j *') = o, d'ordre k, sans satisfaire formellement à une 

 équation différentielle rationnelle d'ordre k et de degré /noindre en y*', ou 

 d'ordre moindre que k, on a, dés que n est assez grand, 



(2) |?_I„|>ja^|>.'('-/'„-0 



(') Ce sont les fonctions que M. Moore appelle transcendeiilally-lranscendental. 



(^) Ces séries sont convergentes ou divergentes; une d'elles peut se réduire à un 

 polynôme. 



(^) Ceci veut dire que ç — 1„ est égal formellement à une série de Maclaurin dont 

 le terme de degré le moins élevé en x est en ^■"" ; une remarque analogue s'applique 

 à (2). 



