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pour x infiniment petit (1' est positif et ne dépend que de k et des paramétres 

 def). 



2" Lorsque 



(3) |;-T„|<|^|'('+''"-^?"', 



si grand que soit le nombre fixe arbitraire positif a, dés que n est assez grand, 

 \ est une fonction hypertranscendante. 



Ceci ne suppose rien sur la nature arithmétique des coefficients c,„, d,„, ni 

 sur la convergence ou la divergence des séries. 



Dans le second cas [formule (3)], soit E' une autre fonction analogue 

 à E, limite d'une suite de fractions l'„, telle que p\^:=k„p^, <j^^z=l^q^ ou 

 p'^^^](„q„, q\^=zl^p^^ avec k„, l„ limités supérieurement et inférieurement, 

 quel que soit n. De plus 



lE'— i;,[<|.r|«''^'p;.^'»', 



dès que n est assez grand : ç et E' sont dites correspondantes ; deux fonctions 

 qui correspondent à une même troisième se correspondent entre elles. 



Soit E, l'ensemble des fonctions correspondant à E et des fractions ration- 

 nelles : E, comprend les dérivées des fonctions de E,. Toute fonction 

 rationnelle de x et des fonctions de E, appartient à E,. 



Exemple d'ensemble E, : fonctions correspondant à 



OU 



i.= 2;« 



cî^„ = gm^„„ §•,„>> o et limité supérieurement et inférieurement. 



On peut d'ailleurs considérer des ensembles E plus particuliers que E,, 

 et ayant des propriétés semblables, en imposant aux fonctions considérées 

 des conditions complémentaires : i° les séries numérateur et dénominateur 

 sont convergentes et ont un rayon de convergence ^p; 2° leurs coefficients 

 sont rationnels; 3° ce sont des fonctions entières; etc. 



