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On peut représenter V par un potentiel de simple couche étendue sur S, 

 la densité p de celte couche satisfaisant à l'équation fonctionnelle 



p — • '- — r I ? — -« drs =: fonction donnée sur S. 



C'est une équation correspondant au type (4) du paragraphe précédent. 

 Pour k positif, l'équation a certainement une solution et une seule. Il 

 peut en être autrement si k est négatif. Par exemple, si S est une surface 

 sphérique de rayon un, on aura les valeurs singuliéresde k correspondant à 



■z-Kk = — ( I H 



OÙ n est un entier positif. La théorie de l'aimantation n'est sans doute pas 

 applicable à de tels coips diamagnétiques, s'il en existe. 



4. Une équation d'une forme différente va nous être fournie par un 

 problème de la théorie analytique de la chaleur. Il s'agit d'un corps en 

 équilibre de température avec rayonnement. En désignant par V la tempé- 

 rature, celte fonction V est harmonique à l'intérieur du corps et l'on a sur 

 sa surface S 



-(S) = ^-(v.-v). 



k élant un coefficient positif et V^ étant une fonction, donnée sur la sur- 

 face, représentant en chaque point de celle-ci la température extérieure. 

 Nous avons donc à trouver une fonction harmonique V telle que sur S 



an 



soit égale à une fonction donnée. 



Cherchons encore à exprimer V par un potentiel de simple couche de 

 densité p. L'équation précédente reviendra à trouver la fonclion p satisfiu- 

 sant à l'équation fonctionnelle rentrant toujours dans le type (2) 



"//K^- 



^'^^\d<: = fonction donnée sur S. 



iT.r 



Pour k > o, cette équation a une solution et une seule. Pour certaines 

 valeurs négatives de k (ce qui n'a d'ailleurs qu'un intérêt analytique), 

 l'équation sans second membre aura des solutions autres que p = o. Par 



