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ne sont jamais simples, ne sont pas toutes doubles, si la courbe est réelle. 

 On peut donc se demander s'il existe des courbes réelles, pour lesquelles s/r a 

 plus de deux racines distinctes. Les formules suivantes conduisent à une 

 courbe qui semble être l'une des plus simples répondant à la question. Soient : 



sin 2t 

 1 -1- /.- + 2/.cos2it 



/ -\- cos 2/ 



k = j , '.,; 1 „. ^, + M + acos2i! + bcosAt + ccosfi^ 



1 + A + 2/ cos zt ' 



l =p[Xsin3^ + 3(l + /4->')sin/], 



de sorte que 



^= 3jD(l + À' + 2). cos 20 cos ;. 



Déterminons les coefficients de façon que S/i^ soit constant, et que /.'(//, 

 hdl et kdli aient des intégrales trigonométriques, le terme en t et les loga- 

 rithmes disparaissant. On obtient six relations qui peuvent s'écrire : 



a = 3cÀ^ 

 b = 3c/. 



y=c. ,_ „ 



■^a + 2/ — 21/1 + /. + // 



3il + i){A^-lf ' 



^ '^ ^ 3(1+1) Ça'- if 



a' + 2b' + 3c' = pr ^ 



on en déduit 



(r-i)- 



2(5 4 8>. + 18/' + Kir + 1 l/')l/r-fT+ /' 

 = () + 11)/. + 3R/r + 5()/= -f 44a' + 23/;'. 



(jui, développée, donne 



45/'" 4- 132/'' + 12/." — 348/' — 1022//' 



— 1356/' — 1428// — 972/'' — 579/' — 192/ — 64 = 0; 



