SÉANCE DU 23 AVRIL 1906. 949 



hypercomplexes à m unités, les unités étant les matrices Aj, A^ A,„. 



De cette manière on peut associer à tout groupe donné G de transformations 

 linéaires et homogènes à n variables avec r paramètres essentiels un système 

 de nombres hypercomplexes à m unités, et, par conséquent, aussi un 

 groupe simplement transitif T de transformations linéaires et homogènes à 

 m[r ^m<n^) variables, à savoir le groupe de ce système de nombres 

 hypercomplexes ; et la solution de certains problèmes relatifs au groupe G 

 peut être réduite à la solution des problèmes correspondants relatifs au 

 système de nombres hypercomplexes ou bien au groupe V. En particulier, 

 j'ai trouvé que le groupe G est complètement réductible chaque fois que le 

 groupe r est complètement réductible, et vice vei^sa (i). 



Soit maintenant A = -;=, cii A, un nombre quelconque du système 



(A,, A„ ..., A,„), 

 et posons (voir mon Mémoire Transact. American mat. Societtj, t. V) 



C A Vra Sm „ 



SA ^i ^ 1 -/ = 1 «( fiji- 



Alors la condition nécessaire et suffisante pour que le groupe r, et par 

 conséquent aussi le groupe G, soit complètement réductible consiste dans 

 l'inégalité 



A(A„ A„ ..., A,,,) 



oAj 0A1A2 --• o Aj A„ 



SA, A, SAl ... SA,A„ 



bA„, A, oA,,, A< . . ^lA,, 



é 0. 



Quand m = nr, le système (A,, Ao, ..., A,„) est équivalent à un quadrate 

 dans la terminologie de Benjamin Peirce, et pour un tel système on a tou- 

 jours A p= 0, ce qui est d'accord avec un théorème de M. Burnside {Math. 

 Society London, série 2, vol. III). 



L'équation A = o reste invariable quand on substitue pour (Aj, A^, ..., A,„) 

 ni fonctions linéaires quelconques de ces lettres, pourvu que ces fonctions 

 soient linéairement indépendantes. Car si 



U; = 2;'.i7^;A; (i = \,2,...,m), 



(1) Je regarde aveo M. A. Lœwy {Transactions oj'the American mathemalical Society, vol. I\', 

 p. 506) un groupe irréductible G comme un cas spécial d'un groupe complètement réductible, de 

 sorte que le groupe r est toujours réductible, tandis que le groupe G peut être réductible ou 

 irréductible. 



