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on a 



A(U., a, ...,U„,) = T'A(A„A„...,AJ, 



T désignant le déterminant de la transformation. 



Soit d'autre part SA la somme des éléments dans la diagonale principale 

 d'une matrice quelconque A, et désignons par V (Ai, Ag, ..., A,„) le résultat 

 que l'on obtient en remplaçant SAj A^ par SA,A^ dans A. Alors je trouve 

 que V = si A z:= 0, et vice versa. On a d'ailleurs 



V(U.,U„...,U„,) = T^r(A.,A„...,AJ. 



Soit a- le nombre des racines distinctes de l'équation caractéristique d'une 

 transformation quelconque Aç de G, et soit s la valeur maxima de o' pour 

 toutes les transformations de G; alors nous avons le théorème suivant : 

 Si G est complètement réductible, les divisions élémentaires sont simples pour 

 chaque racine de l'équation caractéristique de toute transformation Aç de G 

 pour laquelle a = s. 



D'ailleurs le groupe G est irréductible, si, et seulement si, aucun des coeffi- 

 cients cf.^j (?) de la transformation générale de G n'est identiquement nul, et 

 si, en même temps, les n transformations 



OÙ 



■<=1, ^'"^O {p,q = \,2,....n;q^p) 



peuvent être exprimées linéairement au moyen des transformations de G. 

 Au moyen de ce corollaire on peut démontrer que le groupe orthogonal 

 propre où w > 2 variables est irréductible. 



La totalité des transformations linéaires (ou matrices) A = 2"Li a,Aj pour 

 toutes les valeurs possibles de «,, a.., ..., a^ constitue un groupe G à 

 n variables avec m paramètres essentiels. Chaque transformation de G est une 

 transformation de G ; et, comme les paramètres de G sont essentiels, on 

 conclut que m ^ r. Donc, si r = n", G est irréductible. Pour que A soit une 

 transformation de G, il est nécessaire et suffisant que aj, a^, ..., a,„ satis- 

 fassent aux n'"' équations 



aiay(Ç(')) + «i,a,;(?<-)) + ... + a,„a,,(i;W) ^ ^..,(:) {i,i = i, 2, ..., n). 

 Soit R un domaine arbitraire de rationalité, et exprimons maintenant 



