SÉANCE DU 30 AVRIL 1906. 989 



Mon but est ici de faire voir comment la démonstration de ce beau 

 théorème (énoncé sans démonstration par M. Clark au Congrès de Cherbourg 

 de l'Association française pour l'avancement des sciences) peut se rattacher 

 h l'analyse que j'ai donnée dans le cas des trois échelles rectilignes. 



Conformément aux notations emplo^'ées à l'endroit précité, je pose 



F„=^B.C. + BA + B3C3-AD, 

 E, = AQ-B,B,, F, = F„-2BA, ' G, = B,D - G^C, 



et je remarque que, quel que soit i, 



(2) F--4EA = ^, 



A étant le discriminant ci-dessus défini. 



Cela dit, u et v représentant des coordonnées parallèles de droites, 

 je pose 



^ ' \ « = B3/;/:+G,/; + G,/; + D, 



ce qui revient à écrire l'équation (1) sous la forme 



(«3) un-^v = 0, 



et, par suite, à faire correspondre à la variable xg une échelle rectiligne 

 portée par l'axe des origines. 



Éliminons maintenant successivement /; et /"o entre les équations (3). 

 Un calcul facile montre, eu égard aux notations ci-dessus définies, que le 

 résultat de l'élimination de f\ peut s'écrire 



(a,) E,ff + (B,M — Av - F,)/, + C.ti — B,v + G, = 0. 



L'équation [c.i) s'obtiendrait par le simple changement de l'indice 2 en 

 l'indice 1 ; et, comme ces équations sont du second degré en /i ou /i, les 

 supports des systèmes (a^) et (aj) sont des coniques. Reste à faire voir que 

 ces coniques coïncident. 



Or, le support du système (aj) a pour équation 



(B,M — Av — Fj)- - 4E,(C,i( - B,« + G,) = 0, 

 qui peut s'écrire, eu égard à (2), 



(B3M - Aï;)- - 2(F,B3 + 2E,G.)m + 2(AF, + 2EoB,)f -f A = G. 



