SÉANCK DU 7 MAI 190G. 1029 



d'après lequel de tels développements sont possibles d'une infinité de 

 manières. Partons des équations 



dp , du , 



-1- ^ — /ni, -7- = /;l\ 

 dx d-x 



d'où 



V ^ A CQs(/;x — 0), u = A sin{kx — 0). 



Si /.' prend une infinité de valeurs, /.'v (> entier variant de — x à + a), 

 on a 



(1) A'v ' i''j.V; dx ka ' Ih Uu dx = (u-jVa)'^. 



J 'J. ' ' J ''- ' '■ 



Permutant y- et v, en supposant le second membre nul, on conclut que les 

 deux intégrales du premier membre sont nulles, si y -- v, et non nulles, 

 mais égales, si y == -j. 



C'est là le fondement des développements trigonométriques classiques. 



Je me suis proposé d'abord de chercher à réaliser d'une manière aussi 

 générale que possible la condition 



^^^ («■^''V)i; = o ou ^^=^. 



Prise sous cette dernière forme, on voit que les deux rapports qui la 

 constituent ne peuvent être égaux, quels que soient y et v, que s'ils sont 

 indépendants de ces indices. Je leur attribue une valeur commune constante 

 tang'-i. 



Dans ces conditions, le système 



%\\\{ky. — 0) cos(/i;& — 0) 



(o) ■ ,, , j\ = tanff©, — 77 T-= tangct 



^ ' sin(/ip — 0) ^■' cos(ftflt — 0) ^• 



ou 



sin2(/.'y. — 0) = sin2(/,f:, — 0), cosA'(fi — a) = sm2^i>, 



d'où l'on tire 



(4) /,- J 



a 



4 



donne en effet, en supposant /. choisi une fois pour toutes, une infinité de 

 valeurs /.•., et 0,,. 



