SÉANCE DU 7 MAI 1906. 1031 



Analyse mathématique. — Sur certaines séries asymptotiques. 

 Note de M. L. Schlesinger, présentée par M. H. Poincaré. 



Considérons un système différentiel linéaire : 



dont les coefficients «,j, supposés fonctions rationnelles de la variable x, 

 dépendent d'un paramètre f^., de manière que l'on ait 



(1) «.*=u'(«':' + ^<' + - 



où T représente un nombre entier positif; les «'J^ sont aussi des fonctions 

 rationnelles de a;, et les séries du second membre convergent pour mod p. > R, 

 R étant indépendant de x. D'après un théorème connu (i), le point p. =^ œ 

 sera un point essentiel pour les éléments d'une matrice intégrale (/"j), se 

 réduisant aux valeurs initiales. 



(2) 4K) = P>(7;?+^7S1'+-} 



au point régulier Xo, et envisagés comme fonctions du paramètre [j.. 



Nous allons étudier ces fonctions au voisinage de p. = go. Supposons, 

 pour simplifier, - = 1 , X = 0, et formons les séries 



(3) y,, = e;-rvr' + -yi"+...\ 



En les substituant dans le système (A), on obtient pour la détermination 

 de w et des y'p les formules suivantes : 



(') ff+£^""'=i;(^^^""+-+^r'"<)' (-=0,1,2,...), 



d'où l'on tire pour v = 



'-''ik ■'ik 1 



dx 



= 0, [i,k = \,2, ...,n). 



Soient wj, ..., w„ les racines, supposées différentes entre elles, de cette 



X 



équation algébrique de degré n en û = -^, et posons oj, = {^ydx. Si dans les 



CCf. 



(i) Voir p. e. Horn, Mathein. Annalen, t. LU. p. 343. 



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