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équations (4) on substitue pour -r- l'une quelconque des racines tô,, ces équa- 



tions vont déterminer les yf correspondants, que nous désignons par 

 î/';j., à l'aide de quadraiwrs. Nous aurons donc « systèmes de séries de la 

 forme (3) : 



(6) e!^"<(2/l? + ^t/Sl'+. 



satisfaisant formellement au système (A), mais divergentes en général. 

 Posons 



(7) y^-Z-'-yl' 



/.=• 



les ^t vont satisfaire à un système différentiel de la forme 



(B) g = pA:r. + |nQ,, ;r^^Q>. = 0- 



Soit 00 ^ a l'affixe d'un point régulier, c'est-à-dire d'un point qui n'appar- 

 tient pas aux points singuliers du système (B), et considérons sur un rayon, 

 issu du point a, un point h, tel que tous les points de l'intervalle (a...!') soient 

 aussi réguliers. Supposons que le paramètre y. s'éloigne à l'infini, avec un 

 argument constant, c'est-à-dire le long d'un rayon, et introduisons dans le 

 système (B) la variable réelle et positive i, définie par l'équation 



G\/ri 



[j.{x — ff) = £ e , = arg {x — a) + arg a, 



comme nouvelle variable indépendante. Soit oi, celle des déterminations de 

 la fonction algébrique ,:,, pour laquelle la partie réelle de w,e®^^~' soit la plus 

 grande, quand ce reste sur son rayon entre a et b. Pour le système (B) trans- 

 formé on conclut, en raisonnant d'une manière analogue à celle dont se sert 

 M. Poincaré {American Journ., t. "VII, p. 204-209, cf. Horn, Acia 

 Maihem., t. XXIV, p. 290), qu'il existe un système intégral Cj ..., ;;„ dont 



les quotients^ tendent vers zéro, si p. va à l'infini le long de son rayon. Ce 



lemme suffit pour pouvoir démontrer (cf. IIorn, loc. cil.) l'existence d'une 

 matrice intégrale du système (A), ayant la forme 



y, = e-'-'i (^jT, + ■■■ + - yir + y^ (^ A- = 1 , 2, . . . , n), 



où p désigne un nombre entier positif quelconque, et où les fonctions Y ^ de x 



