Il32 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Un seul des deux crochets renfermant un terme constant, son carré dis- 

 parait avec la constante du premier membre, lequel se réduit à 



Ç)2,. + 2 tlA î__ .1.2.3...» 9"+'. 



(n + i)- n 



3. Pour chercher la loi de formation du second, je m'attacherai à un 

 terme déterminé, par exemple en ft^ " ~ *(')• 



Il comprend d'abord, dans les premiers crochets, le carré du terme 

 en 9"-'' 



n' i" - ly (" - 2)= (« - 3)^ 



puis les doubles produits des termes équidistants. Leurs coefficients sont 

 toujours de même signe, et par suite les doubles produits tous positifs 



-j- 2 . n {n — i) . /(, [n — i) {n — a) (« — 3) (h — 4) (" — 5) 



+ 2 . I . 7i (« — i) [il — 2) [n — 3) (h — 4) (" — 5) (h — 6) {n — 7). 



Pour les seconds crochets, il n'y a pas de terme carré, mais les doubles 

 produits de G"- ^ et 9"-^, ainsi que des termes équidistants. Les deux fac- 

 teurs sont alors de signes contraires, et les doubles produits négatifs 



— Q. . Il [a — i) [n — 1) . n [n — i) {n — 2) (n — 3) (// — 4) 



— 2 . Il . Il {n — i) {il — 2) {a — 3) (« — 4) (« — 5) (« — 6). 



On reconnaît partout un facteur commun 



// {n — i) {n — 2) (« — 3), 

 à multiplier par l'ensemble suivant : 



{n - 4) (" - 5) (« - 6) {n -7) -n. {n - 4) (" — 5) {n - 6) 

 + Il (« — i) . {n — 4) (" — 5) — /; (« — 1) [il — 2) . {Il — 4) 

 + n {n — i) {n — 2) (h — 3) + etc. 



Ce symbole, etc., représente, en ordre interverti, la partie située à gauche 

 du dernier terme, d'après le dédoublement des doubles produits, dont j'ai 

 supprimé pour ce motif le facteur 2. 



Or je dis que ce polynôme est équivalent au produit 



(«— 5) (/i — 6) («— 7) (« — 8). 



(') Il serait facile, après avoir saisi cette explication sur l'exemple 0'-" ~ ', de la 

 transcrire plus longuement pour 9^'" "" ', en la ramenant aux A- puissances, de X- -+- i 

 à 'j. k, du binôme 1 — z, lesquelles s'annulent toutes pour :; = i . 



