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5. Nous venons de voir le degré de la résolvante s'abaisser de 0.11 + 2 à 

 Il -\- i. Dans la moitié des cas, lorsque n est impair, un nouvel al:)aisse- 



ment s'opère de /; -)- ' ^ , car les puissances de 6 sont alors toutes 



paires. N'oublions pas en outre qu'une première réduction s'était produite 

 dès le début .n" 8, p. 1074), par la suppression du facteur A'' + B", lequel 

 est ici en B du degré 2/(, ce qui eût sans cela porté à 4« + 2 le degré 

 initial. 



Finalement donc, le degré s'abaisse de 4" + 2 à /z + i si n est pair, et à 



" ' s'il est impair. Pour ce dernier cas, le degré se trouve réduit dans 

 le rapport —-^ — r^— - , lequel ne varie que peu, de -^ à -^ . 



' ' 4 (2" +1) 11' 6 8 



Malgré cette remarquable simplification, l'équation ne sera que rare- 

 ment résoluble algébriquement. Elle rentre dans les quatre premiers 

 degrés pour les cinq cas suivants (') : 7; = i (i" degré), /; == 3 (2^ degré), 

 ;( = 2 et n = 5 (3" degré), n = 'j (4" degré). 



6. Traçons actuellement, à partir de l'origine des densités, les dévelop- 

 pantes d'ordres successifs du cercle, et proposons-nous, à leur égard, le 

 même problème. 



L'arc de la jf développante a pour valeur 7, -, — , — r • Les coordon- 



nées de celui de ses points qui correspond à l'angle 8 sur la circonférence 

 peuvent être mises sous la forme 



(') On pourrait y joindre en outre celui de riiomogénéité, qui dérive de nos formules 

 pour n = o. Il a été traité directement par JNL Cesaro (Nouvelle correspondance, t. IV, 

 1878, p. '281), et la conduit à la cocléoïde 



ainsi dénommée par i\I. Falkenhurg y Benthen (AVeii' Arclnef, Amsterdam, t. X, 187G) et 

 étudiée par AI. Gomès Teixeira [Tratado de las citn'as espccialcs notables. Madrid, i90>, 

 p. 3;,',). 



