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ACADEMIE DES SCIENCES. 



MÉCANIQUE. — Centres de gravité de systèmes spiraloïdes, 

 par M. HATOm de la Goupilliëre. 



I. On a pu voir dans notre précédente communication (pageii3o) quels 

 obstacles rencontre la recherche du lieu géométrique des centres de gra- 

 vité d'une ligne dont la densité varie en raison d'une puissance entière et 

 positive de sa longueur, pour une figure aussi simple que le cercle. En 

 vue d'un résultat plus complet (tout en élargissant la généralité de l'expo- 

 sant), j'envisagerai la spirale logarithmique. Elle justifie encore la devise 

 de Jacques Bernoulli : eadem miitata resurgo ; car le lieu géométrique 

 des centres de gravité des arcs croissants à partir du pôle, et de densité 

 proportionnelle à une puissance positive (entière, fractionnaire ou incom- 

 mensurable) de la longueur, est une 'spirale égale tournée d'un certain 

 angle. 



Nous prendrons l'équation de la courbe sous la forme 



i' ^— ^e cot fl 



en appelant a l'angle de la tangente et du rayon. La masse élémentaire est 

 s"ds, et la masse totale 



5ÏI -f- 1 e(7z + 1)6 cot a 



OU 



ù 



n-\-i ' [n -\- i) cos" + < a ' 



Le moment relatif à l'axe des ordonnées a pour valeur 



s"dsr. cos6 = -r ^ / e'>" + -) "^"^ « cos 6 rf9. 



Posons pour simplifier 



[il -+- 3) cot a = cot b, 



nous aurons pour l'abscisse du centre de gravité 



pin + 1) Il coi a T T" . . , r. 1 r, 



.r • , / r- = -■ / e" <=<>' '' cos 9 d 9, 



[n + i) cos" + 1 a sm a cos"a J—cr. 



x=^{a + i)cola . e-("+i)ocot.r siu + coi. /. cos ^.,„,,-| 

 \ ' J I I _j_ col-/; J 



l'exponentielle s'annulant pour la limite inférieure de l'intégrale, puisque 

 son exposant est positif. On a donc 



.r :=:(/; 4- i) cot « sin b cos (9 — b) e" '^"^ «. 



i 



