SÉANCE DU 28 M.U igo6. II 73 



On trouverait de même pour l'ordonnée du centre de gravité 



y = (« -f i) cot a sin h sin (0 — h) e" '^°'''. 



2. Il suffit maintenant d'éliminer S entre ces deux égalités. Convertissons- 

 les pour cela en coordonnées polaires 



tang tjj ^ ^ = tang (*) — d], 



iO =^ — Ù , fj = 10 + &, 



p = ^x^ -+- y^ = [n-\- i) cot a sin h e" '='" " 



= («+i) cot a sin 6 e('' +')<=»'«. 

 Si nous posons enfin 



(«4- i) cot« sin b .e'""'^" = gccot«_ 



nous pourrons écrire 



3 ——. g(i.) + c) col a 



c'est-à-dire une équation identique à la proposée, pourvu que l'on fasse 



tourner de l'angle c l'axe polaire. 



En résolvant numériquement par rapport à a l'équation transcendante 



c = 2 krv, ou 



r , , T ^ r (n + i) oot a H , 



arc cot [a -\- 2) cot a + tang « Log . = 2 /,-, 



on déterminerait des spirales spéciales qui sont à elles-mêmes le lieu de 

 leurs centres de gravité, pour une densité proportionnelle à la puissance n 

 de la longueur. 



3. Le cas ordinaire de l'arc homogène rentre dans ce théorème général 

 pour n = o. En prenant h = i, on l'appliquera au centre de gravité de 

 l'aire, à la condition de tenir compte de la superposition des spires aréo- 

 laires. En effet, si l'on condense en leurs centres de gravité les secteurs 

 élémentaires qui la composent, on constitue une spirale semblable réduite 

 d'un tiers, c'est-à-dire une spirale égale tournée d'un certain angle et 

 douée d'une densité proportionnelle au rayon, ou à l'arc. On devra ici 

 tenir compte à la fois des deux rotations, pour déterminer des spirales qui 

 soient à elles-mêmes le lieu des centres de gravité de leur aire. 



4. Envisageons maintenant des puissances négatives, en distinguant les 

 trois intervalles séparés par les limites 



o, — • I , — 2, — =c. 



