SÉANCE DU 28 MAI I906. II75 



7. Nous terminerons ces recherches en envisageant un chapelet discon- 

 tinu formé des nombres consécutifs de i h q, disposés en forme de gra- 

 duation angulaire le long de la spirale logarithmique, à partir d'un de ses 

 points par lequel nous ferons passer l'axe polaire. Appelons p leur inter- 

 valle constant. 



Pour en obtenir le centre de gravité, il suffit d'évaluer les sommes de 

 moments U et V. La masse /.• a pour azimut 9 = A- !3 et pour rayon vec- 

 teur /• =: e *''- (en représentant pour abréger cot a par A). On a donc 



U = y ke^''-> cos A-^, V = y h-e^^> sin />•?. 



o 



Nous pouvons également ranger sur la spirale, non plus les nombres 

 naturels, mais leurs puissances p entières et positives. Les moments 

 deviendront 



î <i 



U;, = y kPe^''^ cos A-|3, V,, = S f<>'e^''' sin /.-p. 



o 



8. Introduisons ici les sommes des abscisses et des ordonnées 



u=\ e'^*'- cos/i:|3, v=\ e'"'^ sin/t 



.o 



On en déduit à l'aide du symbole imaginaire t = y,' — i 



(i) U -I- vi = y eA''V (cos l;fj-^ i sin /.-.S) ^ S e^^iA + o?^ 







progression géométrique qui a pour somme 



Il + Cl 



e.A + ij? — I 



Rendons le dénominateur réel en multipliant par l'imaginaire conjuguée 

 les deux termes de la fraction 



Il -+- VI = -t J— t i- 



[e(A + 0? — i] [e(A-0?— i] 



e(q + i)A p eg'g — e(7-f i) M e(.q + 1) i? — e-i? e- M + i 



e2.43 _ e.4? (e'? + e- '?) + i 

 Remplaçons les exponentielles par leurs équivalents trigonométriques, 



