SÉANCE DU 28 MAI I go6. II 83 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés qui, pour les fonctions d'une 

 variable hi/perco/nplexe, correspondent à la monogénéité. 



Note de M. L.ÉOX Autoxae, présentéepar M. Jordan. 



Les propriétés générales des quantités hypercomplexes sont aujourd'hui 

 bien connues. Aussi, pour toutes explicalions, nous nous bornerons à ren- 

 voyer, par exemple, au Mémoire de M. Frobenius, « Théorie der hyper- 

 komplexen Gi'ossen » dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin, 

 pour avril 190,3. 



Dans un groupe (s), aux n symboles £„ , a, |3 ^ i, 2, ..., n , prenons: 

 i°la variable .r =S £3 .r^ où les Xa, sont des nombres réels ou complexes, 

 coordonnées de .r ; 2° la quantité X + S £„ X„ (.r,..., Xr, ) =/' {{x)) fonction, 



a 



par définition, de la variable x. Existe-t-il quelque propriété rappelant la 

 monogénéité ? 



Si X, N, X sont des quantités complexes, la monogénéité consiste, comme 

 on sait, en ce que fZX ^= udx. M. Scheffers [Comptes rendus, mai iSgS) a 

 reconnu que cela ne pouvait subsister que dans les groupes à multiplica- 

 tion commutative. Voyons ce qui se passe si (s) est un groupe simple; par 

 conséquent n = /'. La multiplication n'étant plus commutative, udx est à 

 remplacer par uxlx.v. De pareilles expressions u.dx.v ne se réduisent pas 

 ensemble, au moins en général, et le problème se formule ainsi : mettre 

 fZX ^: S £.. fZX„ sous la formes «j . dx.Vi , \i^^ i, i,...,^\,^ éiAn\. minimum. 



et i 



Il existe une matrice n-aire "^V, oii chacun des n- éléments est une 

 expression S c„j "^" , les constantes c»^ étant connues sans ambiguïté 



« dès que (s) est donné. » N est le rang de '^. Vis-à-vis du changement des 

 symboles s, N se comporte comme un invariant, ainsi que les « Elementar- 

 teiler » (Weierstrass) du faisceau de matrices p SV +''^^'- 



Prenons X =: f [{x)) , x = 's {[2/)) d'oùX = F {(y))- Comment se comporte 

 '^ dans ce changement de variable? 



Soient respectivement u , v , w les matrices "^ pour les fonctions f », F. 

 Les ir éléments de ?<, i> , t^» sont les coordonnées dans un certain groupe [ez), 

 d'ordre n- et simple, de quantités hypercomplexes U , V , W . « On a, 

 dans (se), W = UV. » 



