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Cet ensemble de propriétés permet de nommer l'entier N « indice de 

 monogénéité ». 



Pour construire toutes fonctions à indice N donné, il faut annuler dans 

 "^ tous les déterminants (N-j- i) — aires et intégrer le système d'équations, 

 obtenu ainsi, aux dérivées partielles du premier ordre. Voici la solution 

 pour N = I , c/X = u . d.r . v. 



On peut, comme on sait, affecter, dans (s), les x et les s d'un double indice 

 i a , j3 , y , 0:^ i,a...., /•; 7/ =''^i, de façon que le groupe (s) soit isomorphe 

 sans hémiédrie au groupe des matrices /-aires 



/ .fn -t'i,' 



(^)= 



\ ■l';-l C,.^^ 



Il y a quatre types, pour N == i, de fonctions X=: S £„5 X.,s (ru Vrr)- 



«s 



I. — X = K.rL + i\I ; K, L, ■M = const. dans (e). 



II. — X = N £„i X„i (4), t^ = 2J^<' ■^?'' ^'^«? = const. ; 



« p 



X„i (/) = fonction arbitraire de t. 



III. — X = \ £i5 X|j (.ru, ,ri2, ..., .ri,.), X^ = fonct. arbitr. 



5 



IV. — X=^£.5X««(w);X,s {i)^f-nAl-)p^ {i)dt; M = -f {q^,q,,..., q.,, ..., q,.), 

 «s 



q^z^ \ /ip Xp^, /ip = const. ; /■,„. {l), ps {l), '| = fonctions arbitraires. 



N étant quelconque, pourquelamatrice'^soitsymétrique, il faut et il suf- 

 fit qu'en posant Y/ = ^ gim Xm, gi,n = const., l'expression 



m 



\ Y/f/.r; ) l, m = i, 2, ..., Il* 



i 



soit une différentielle exacte, les gi„, ne dépendant que du groupe (e). 



