SÉANCE DU 28 MAI I906. Il85 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe particulière de fondions Q. Note 

 de M. HEARY BOURGET, présentée par M. Emile Picard. 



1. — Considérons une série absolument convergentes;/,,. La série 

 ^(~îr)"" ' *^^^^ laquelle D désigne un nombre entier positif ou négatif et 

 i-Tj) 1(? symbole Legendre-Jacobi (ou il — \u„ si D est pair) est absolu- 

 ment convergente en même temps que la première ; (-fr) étant -)- i, — i 

 ou 0. Si la série S;/,, définit une transcendante, il est loisible de consi- 

 dérer avec elle les- autres transcendantes définies par SZ-r— j»„. 



Les recherches de théorie des nombres de Dirichlet et de ses succes- 

 seurs montrent assez l'importance d'une telle considération. 



Je voudrais signaler ici les faits intéressants, nouveaux, je pense, qui 

 se présentent quand on applique cette idée générale aux séries ?! de 

 Ja(;obi. 



2. — Je me bornerai uniquement au cas de D > o et ^ i mod. 4i sans 

 diviseur carré ; réservant les résultats analogues correspondant aux 

 diverses hypothèses sur D pour un travail plus étendu. J'aurai donc à con- 

 sidérer les séries suivantes : 



^^3 (^') = 2 2, (17) (J"' ''OS 2« T.C 



1 II 



00 



Go (c) = ^ / ( — 0" (irj'j'"' ^'^^ ^" "'' 

 I ji 



G, (t^) = 2 \ (it) ? * ^'^^ (^" + ■) "'' 



1 n 



^•i (<') = 2 2^ (— i)" (^3 j q 1- sin (27i + i) -r 



1 n 



avec 



Si l'on groupe les termes de ces séries en comprenant dans un même 

 groupe les termes correspondant aux valeurs de n donnant le même résidu 

 s mod. D, elles deviennent 



