Il86 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



D- 1 



(■, = D (i>-\-s'. 



1 5 



D - 1 

 1 « 



1) - 1 



i'„ = D (t; 4- s't) 



1) — 1 - n^^ 



• SI LJ k 



, 2S -]- I D 



i s 



3. — Ces expressions qu'on peut modifier encore un peu en utilisant les 

 formules de transformation des fonctions o nous montrent immédiatement 

 que les transcendantes entières Ta- satisfont aux deux équations fonction- 

 nelles 



(A) H (i. + , ) = ç F, (^,) (B) ç, ((. + Dt) = r, /.- - - D (2. + D.) ç^ (^) 



, + I si /.■ = 3,o i + ' si /i = 3,2 



r — I SI /r = a,i r ■ — i si k = o,i 



ou en posant 



Dt = w 



(A') e, (,>+.)= E ç, ((^) (B') r^, {i' + co) = Y, e - -■ ■> (^" + D,) p, ((,) 



Or ces dernières équations sont précisément les équations de définition 

 des fonctions B d'ordre D, de rapport de périodes w et de caractéristiques 



(o,o), (o,i), (i,o), (l,l). 



Les fonctions désignées par 2\ {y) sont des fonctions cVordre D. Il 

 paraît remarquable que l'introduction d'un symbole arithmétique permette 

 en isolant ces fonctions de la totalité des fonctions d'ordre D d'en 

 donner une expression analytique si simple et si différente de leur expres- 

 sion connue à l'aide des & du premier ordre. 



4. — On peut démontrer que les fonctions T;, (c) obéissent à des lois 

 simples de transformation. Envisageons, en effet, ces fonctions comme des 

 fonctions de Tordre D, c'est-à-dire, comme fonctions de v et de Dt = w, 

 on a les formules 



