SÉANCE DU 5 JUIN I906. 1257 



de D, avec C„) contient une courbe qui se décompose en D^ et en une 

 courbe d'ordre ii — i : C,i_i [passant, comme on sait, par les n (n — i) 

 points d'intersection résiduelle de C„ avec G,,]. De même, le faisceau (G„ _ i, 

 G„_i) (G„_i étant le groupe des Ji — i droites qui joignent P aux n — i 

 points de rencontre de Dj avec C,i^i) contient une courbe qui se décom- 

 pose en D^ et en une courbe d'ordre n — 2 : G„_2, etc. On détermine, 

 ainsi n — i courbes C„_i, G„_2,... G„_(„_i), dont la dernière est une 

 droite : C„_-(„_i) ^ D,,. 



Cela posé, on a la proposition suivante : 



Le point P et la droite D., étant arbitrairement fixés dans le plan : 1° les 

 quatre droites Dj, D^, D3, D,, concourent en un même point; 2° leur rapport 

 anharmonique est constant et égal à n. 



Ce théorème, au moyen duquel on parvient à l'invariant numérique /{ 

 [ordre de la courbe) comme rapport anliarmonique, semble être nouveau. 

 On peut le démontrer par différentes voies. Voici une démonstration très 

 simple par l'algèbre : 



Le point P et la droite D^ étant arbitrairement fixés dans le plan, soit 

 .x\ = .V.-, = .îg = o un triangle de référence dont un des sommets, .r^ = 

 .r, = o, est en P et le côté opposé, .r3 = o, est D^. L'équation de la 

 courbe donnée C„ pouvant être ramenée à la forme 



C„ = x'î 'f + x'^ - ' 3j + . . . + .r, -f „ _ 1 -I- 'f „ = o, 



3o étant une constante et s, (j = i, 2,... n) un polynôme homogène de 

 degré i en ,r,, x.,, l'on trouve immédiatement : 



D, ='fi = o, D,~x, = o, D3 = -j, + 7r^„. 1-3 = 0, D, = -f, -\- 'f,x., = o ; 



d'où il suit que les quatre droites D^, D,, D3, D. concourent en un 

 même point (a, = x^ = o) et que leur rapport anharmonique est égal 



a — i— = 7i. c. Cf. I. d. 



En particulier, pour» =^ 1 (conique) : Les quatre rayons ; D,, D3, D^, D,, 

 ainsi que les quatre rayons : D,, Dj, D^, D^, 507ï< e/i situation harmonique. 



Je m'abstiens d'énoncer le théorème que l'on déduit par dualité, et 

 qui donne l'invariant niuiiérique m [classe de la courbe) comme rapport 

 anliarmonique'àe quatre points en ligne droite. 



2. Examinons le cas particulier où l'on fait coïncider P en un point 

 (/■)!'''■ (/• < n — i) de la courbe donnée. Ecrivons C'„''' au lieu de C„ et D 



