1258 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



au lieu de D^. Soient : Ilr le groupe des /■ tangentes en P à la courbe C,',' ; 

 H,+i le groupe des/' + i tangentes en P à la courbe, unique, du fais- 

 ceau (Q'', H^ D„_,), qui a un point (/•+ i)p''= en P; L,'.'| , la (// — /• — i)""'' 

 polaire de P par rapport à C'„'''. Le faisceau {C\'j\ G„) (G„ étant le groupe 

 des n droites qui joignent P aux ii points de rencontre de D avec C'„''') con- 

 fient une courbe qui se décompose en D et en une couriie d'ordre // — i : 

 CîfLi. De même, le faisceau (CjfLi, G,i_i) (G„_i étant le groupe des n — i 

 droites qui joignent P aux // — i points de rencontre de D avec Gjj'L J con- 

 tient une courbe qui se décompose en D et en une courlie d'ordre /( — a : 

 Gi^'L 2, etc. On détermine ainsi n — /•— i courbes : GJ|'L i, Cj,''L a»- • • G'„''L(„ - ,. - i)r 

 avec un point (/•)?'■= en P, dont la dernière, CS[L („ _ ^ - 1) == Gi.']. ,, est une 

 courbe monoïde d'ordre /■ -f- i. 



On a dans le cas actuel la proposition suivante : 



La droite D étant arbitrairement fixée dans le plan : i° les quatre courbes 

 d'ordre /• + i : H,. + i, DH,., U'I^, C-^l^ appartiennent à un même faisceau; 

 9° leur rapport anharmonique est égal à n — /•. 



En eftet, la droite D étant arbitrairement fixée dans le plan, soit J\ = 

 .r, ^x,= a un triangle de référence dont un des sommets, .ri ^.r., = o, 

 est en P et le côté opposé, x^ = a, est en D. L'équation de la courbe 

 donnée G|,'"' pouvant être ramenée à la forme 



(a) G(r'EEE.rr'>. + ^r''"'?,.+.+'...+^r3a,_i + ^„=.o, 



C3 (f = /■, / -|- I ,... /() étant un polynôme homogène de degré i en ,r^, .r,, 

 on a tout de suite : 



H, + 1 = », + 1 =^ o, DH, = ,^3 », = o, lli:\ , == tf, + 1 + [a — /•) x^ o, = o, 



G[.'| 1 = cp, ^. 1 4- x^ 'fr = o ; 



d'oîi il suit que les (juatre courbes d'ordre / • + i : II, 4.1, DH,, L,','.^i, 

 Gi'li appartiennent à un même faisceau et (jue leur rapport anharmonique 

 est égal an — /•. c. q. f. d. 



Pour r = Il — 2 [courbe hyperelliptique d'ordre n avec un point (n — a) 

 — pie] le rapport anharmonique des quatre courbes d'ordre a — i : H„ i, 

 DH„_2, Ljfrf, GS''r fêtant égal à 2, l'on déduit que : les 'quatre courbes 

 H„_i, LÎ"rf\DH„_ 3, Cl''^zf , ainsiquelesquatre courbes\il^Zi\ H„_2, DH„_ 2, 

 CS,"jri"', sont en situatu)n harmonique. 



