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et celle de la constante u' à laquelle correspond l'intégrale impaire 



(3) '\i, [x) = 2 bj sin av.r, 



sont très rapprochées dès que leur partie entière, qui est un carré parlait 

 g-, surpasse une certaine limite. Cela résulte des développements indiqués 

 par Emile Mathieu et peut s'éta])lir aussi par les méthodes de Heine, con- 

 venablement modifiées. J'ai obtenu la formule approchée 



\ Il — \/ Il = ^r sin -y ii — 



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qui s'applique déjà pour;?; = i,g = lo avec six décimales exactes. 



Pour les coefficients principaux b, et b,' la méthode de Heine, qui part 

 des valeurs 6o= i, i/= i, fournit des valeurs très grandes; on devra divi- 

 ser par un grand nombre pour obtenir le résultat sous forme maniable ; les 

 coefficients dont on est parti avec la valeur ///; deviennent négligeables et 

 seront supprimés dans la plupart des applications. Au lieu de procéder de 

 la sorte, je proposerai de mettre les fonctions •}, sous la forme 



2 ctg + 2, cos {g -+- av) ,r, S a'g + », sin (g + av) x 



où V =0, =t I, ± 2,... et où l'on ferait par exemple a,j = cig' = i. La déter- 

 mination des coefficients s'effectue à l'aide des formules toutes semblables 

 en fractions continues, comme dans la méthode de Heine; la recherche des 

 paramètres u, n' devient particulièrement commode dans ces circonstances. 

 Toutefois, le procédé de développement qu'on doit à E. Mathieu paraît être 

 préférable. 



Dans notre hypothèse de /; très grand, les différences 6, — b.j sont négli- 

 geables dans les applications, et l'on déduit, approximativement, les 

 séries (2) et (3) l'une de l'autre en échangeant les sinus et les cosinus. 

 Enfin, la série (3) donne la valeur approchée de la deuxième intégrale, 

 'i^ (.r), de l'équation (1), et vice versa. J'ai obtenu en effet la valeur exacte 

 de l'intégrale non périodique sous la forme 



n 



J., (.r) = cp (.r) + ^ T .r 'L, 



où s [.r) signifie une série partout convergente 



a (.c) = S c, sin av.c, 



et T est donné en fonction de m- par une série entière, de forme semblable 



