SÉANCE DU I I .ILIN I906. l327 



à la série R = /; d'Emile Mathieu. On a d'ailleurs, en première approxi- 

 mation. 



T = 



g 



Sans entrer dans le détail de ces développements, on peut se rendre 

 compte du lien étroit qui existe entre les intégrales de l'équation (i), rela- 

 tives à II et II', en raisonnant comme il suit. Désignons par y (r) la série (3) 

 en retenant ii, (.1) pour désigner la série (2); on tire alors des équations (i) 

 relatives aux ])aramètres n et /(' la relation 



■l, ■/:' - i," 7.= 'n- II') 6, /, à, ■/: - y, / H- [.i) = G, 



où j'ai fait [.r) = (11' — 11) /'i, (.r) y (x) dx. 



Il s'ensuit cette expression de la deuxième intégi'ale 





(Ml oljservant (juo la dérivée 0' (.r) s'annule on même temps que ■{<, (.r), on 

 constate aisément que la seconde partie du deuxième membre est une trans- 

 cendante entière, négligeable avec n — 11' . 



Je termine en indiquant comment on pourra procéder dans la reclierclie 

 de la deuxiénu; intégrale de (i), 'l., (■»■), dans le cas où n ne dépasse pas 

 certaines limites, cas ou la méthode de Heine est commode. Supposant 

 connue la série (2), je pose 



oc 



't'iC^') = '■? {■"') + ■'-' 'î'i V^)' ? i^-, =^ - / ''- '^i" -"''■''• '^1 (■*') = ' + 2 > Z*,, COS 2V.f. 



1 

 On constate a priori que cp (.r) est une transcendante entière et pério- 

 dique et il ne reste c|u'à oljtenir les coefficients Ç,. Ils résultent de léqua- 

 lion différentielle 



—r-^, 1- [Il + 1111 COS ix) 0+2 '!>/ (x) = O, 



SOUS la forme • 



c. = Q. c, + R„ ; 



les quantités Qv et Rv sontdes fonctions des b et des constantes 7», /;, qu'on 

 calcule successivement à l'aide des relations récurrentes 



<^' + ' = ^^^ '>■ - <^- - 1 ; Qo = o, Q, = X, 



R.,. _ ir_^R. _ R_. + ii;^ ; R, =. R 



ni 



\. 



C. R., iyo6, i" Semesiie.{T. CXLII, N» 24.) I74 



