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ACADEMIE DES SCIENCES. 



i" On peut il l'aide d'une transformation (j) réduire le groupe des termes du i" deo-ré 

 de {il, cj à l'une des formes 



("^ + ^■'), 



— u- 1', -:- ir. 



en choisissant convenablement y et •;' on peut par conséquent réduire l'élément (2) 

 ou (4) à l'une des formes 



^ rfs- = î( f/rt- -|- 'A Cl rfM rff -(- (' û?l'-, 

 f C?S- =: U du- -f- '2 Cl du dv -\- c, dv-, 

 . rfs- = t' du- -(- -2 // (/« d\' -\- cj (/i'-, 



(7) 



' f/s- =: C du- -\- -1 Cl (/(( (/»! -)- Cj rfl'-. • 



Comme la courbure des éléments linéaires de la dernière ligne est nulle, ce qui n'est 

 pas le cas des surfaces (i), on conclut que ces surfaces ont un éléujent de la forme (7) 

 ou (8), où Ci^o, c^^o. Dans (7') la constante Ci est essentielle, dans (8) on peut faire 



disparaître c^, en posant, par exemple « ;=: Ui^c,, v =: ^^^. On aura donc (7) et 



(8') ds- = i' du- -\- j. u du di' -f- dv- 



comrae seuls éléments linéaires qui correspondent à des surfaces (i). Pour distinguer 

 maintenant parmi ces surfaces, celles dont l'élément linéaire réduit est (7) de celles dont 

 l'élément peut se réduire à (8'), nous remarquons d'abord que les expressions 



a 1/ c 



D 



fli bi Cl 



«., b.,C.^ 



se reproduisent, à la suite dune transformation (jj, umllipliées respectivement par 

 (a^' — ^ot')'', (aji' — |ia'/ ; il en résulte que 



reste invariable pour toute transformation (5). On a pour (7), I = — "TT ; pour (8'), 



1 

 A = I), donc 1=0; pour les deux D ^ o. 



Calculons maintenant I à laide de A,B, G. On peut poser, par exemple, 

 dans (i) 



.r = H - , y 



C T 



— A» — Bt' 



et l'oriiier lélément (a) correspondant. Oii trouve ainsi 



4 (A" + B» + C« — 2B-'C-'— aC^A' — -iA-'B")^ 



(9) 



I = 



gA-' B-' C' 



Toutes les surfaces (i), pour lesquelles l'expression (9) de l'invariant I 

 a une même valeur différente de zéro, ont un même élément réduit (7) et 

 sont par conséquent applicables les unes sur les autres. De même, toutes 



