l4o4 ACADÉMIE DES SCIE^■CES. 



sont celles-là que M. Painlevé a omises dans l'application de sa méthode. 



J'adopte ici les mêmes notations que M. Painlevé ; les lettres ah ..h 

 désignent des fonctions analytiques de X, À, a des combinaisons algébri- 

 ques de ab...h et de leurs dérivées jusqu'à un certain ordre ; a, [j des 

 constantes numériques et s le nombre o ou i . 



L'équation (E), d'après un résultat de M. Painlevé, doit être de la l'orme 



--(■ 



-^-^ Y ^ "^ Y 



et l'on trouve, en appliquant les conditions ultérieures de M. Painlevé, 

 que, sauf pour les valeurs a, 3, j de l'entier 7?, a et cl ou bien sont nuls 

 tous deux, ou bien sont liés par la relation rf = — , — - — -,; de même saui 

 pour 7? = 2, c et 11 sont ou nids tous deux ou liés par la relation 



h = 



Pour n = 3, a et d sont ou liés par les mêmes relations ou bien par 

 l'une des deux suivantes : a nul, d quelconque ou bien d = —^ . Pour c 

 et ^, ils sont ou nuls tous deux ou bien c nul, h quelconque. 



Pour // ^ 3, en dehors des cas généraux qui subsistent, on peut avoir 



d^^= — et de même pour 7/ = 5, d= 5(i'. 



En réunissant ces hypothèses, on est conduit à former i4 types d'équa- 

 tions dont l'étude conduit encore à regarder /7 = 4 comme valeur singu- 

 lière. En dehors d'équations intégrables ou réductibles aux transcendantes 

 définies par des équations différentielles du second ordre signalées par 

 ^1. Painlevé, j'ai obtenu un type unique de transcendante nouvelle 



y" =: 1^ + A ,f + ir>r -h 2 (.r^ _ a) ^ + ^ . 



On peut dans cliaque cas, par une substitution Y :=: "a(X;^, .<; = [■'■[^), 

 ramener l'équation (E) à un nombre fini de types canoniques que je vais 

 énumérer ici pour // quelconque. 



Premier type : n quelconque ; a=^ o, d = o. c ^ o h = o. 

 Ces relations entraînent e = o, sauf si n égale -i ou 'i, g = o, sauf si n = i. 

 On obtient dahorJles ', types indiqués par M. Painlevé, un pour/î quelconque, i pour 

 fi = i., puis les 'i tj'pes suivants correspondant à n :^ ', : 



y" =: i- XI + -^q (x) 2/' 4- ■>,,/'- + i-iq' - 3^^) ,/ 



