SÉANCE DU 25 JUIN 1906. l459 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème généralisé de Dirichlel 

 et r équation de M. Fredhnlm. Note de M. Emile Picard. 



1. J'ai depuis longtemps (') fait l'étude du problème généralisé de 

 Dirichlet pour les équations linéaires du type elliptique 



. , Ô''- U Ô^ Il Ou 7 Ou r 



^ ^ dx- ôy- ox ÔY ■' 



où a, b, c, f sont des fonctions de x et y. Récemment, M. Hilbert et ses 

 élèves ont rattaché ce problème à l'équation fonctionnelle de Fredholm. 

 Ils parlent, à cet effet, d'une certaine solution de l'équation différentielle 

 devenant infinie en un point. Je voudrais montrer que la question peut 

 aussi être traitée, sans introduire d'autre fonction que la fonction classique 

 de Green pour le contour donné. 



2. Posons-nous, pour préciser, la question de trouver l'intégrale de 

 l'équation (i), continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers 

 ordres dans un contour C et s'annulant sur C. Pour éviter quelques diffi- 

 cultés accessoires, je supposerai que C est régulièrement analytique. 



Désignons par G(E, -/i; a?, y) l'i fonction de Green, relative au contour C, 

 c'est-à-dire la fonction harmoiuque en (E,r,) s'annulant sur le bord et 



devenant infinie au point (^, y) comme log- (r étant la distance des deux 



points). En supposant l'existence de la solution, on déduit de (i) 



l X GÇi, rr, ■t,y) dldr, = A(a:, j). 



f 

 oii l'on pose 



K-^. y)=-~ fff('-^ ■'' )^-' (^- -^ : ^^ y) ^' ''■'- 



L'équation (a) n'est pas une équation de Fredholm, mais on peut facile- 

 ment, au moyen d'intégrations par parties, passer de l'équation (y.) à 



(') On trouvera une bibliographie de la question dans le dernier travail que j"ai 

 publié sur ce sujet {Acta mathematica, t. XXV). 



C. R., 1906, I" Semestre. (T. 0-XLII, N° 26.) I9I 



